[论文解读] Ranks of elliptic curves over Z_p^2-extensions

Antonio Lei, Florian Sprung|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

该论文为虚二次域 K 的 ℤₚ²-扩张的有限层上椭圆曲线 E 的 Mordell-Weil 秩建立了 O(pⁿ) 的上界，其中 p 是在 K 中分裂的奇素数，且 E 在 p 处具有良约化。作者提出了一种新方法，结合 Coleman 映射、Iwasawa 上同调以及精细 Selmer 子群的控制定理，即使在标准控制定理失效的困难情形——即奇异情形下——也能控制秩的增长。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve with good reduction at a fixed odd prime $p$ and $K$ an imaginary quadratic field where $p$ splits. We give a growth estimate for the Mordell-Weil rank of $E$ over finite extensions inside the $\mathbb{Z}_p^2$-extension of $K$.

研究动机与目标

• 理解椭圆曲线 E 在虚二次域 K 的 ℤₚ²-扩张的有限层上的 Mordell-Weil 秩的增长规律。
• 将已知的 ℤₚ-扩张中秩增长的结果推广至二维的 ℤₚ² 设置，特别是在奇异情形下。
• 在奇异情形下由于缺乏一般控制定理，仍能对所有此类层实现统一的 O(pⁿ) 秩增长上界。
• 开发一种新方法，结合 Coleman 映射与全局 Iwasawa 上同调，以控制从 Selmer 子群到精细 Selmer 子群的商映射的核。

提出的方法

• 通过 Coleman 映射对精细 Selmer 子群的对偶使用广义控制定理，绕过奇异情形下对经典控制定理的依赖。
• 应用 Harris 的一个增长引理，以控制精细 Selmer 子群对偶的 ℤₚ-秩，从而将问题转化为控制商映射的核。
• 引入一个全局 Selmer 型群 𝒀′ₙ，通过 Iwasawa 上同调在无限层上的伽罗瓦不变量来控制局部核 𝒀ₙ。
• 利用 Cuoco 和 Monsky 的一个引理，将局部模分解为同态分量，表明每个分量对秩的贡献为 c(pⁿ⁺¹ − pⁿ)，其中 c ∈ {0,1,2}。
• 分析 Coleman 行列式关键表达式的 p-进赋值差异，证明非零行列式具有不同的赋值，从而实现对消失特征标数量的有界性控制。
• 利用对所有 n 成立的、消失特征标数量的有界性，通过在 n 上求和来控制 𝒀′ₙ 的增长，最终得到 O(pⁿ) 的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆曲线在虚二次域的 ℤₚ²-扩张的有限层上的 Mordell-Weil 秩的渐近增长速率是什么？
• RQ2 当经典控制定理失效时，Mordell-Weil 秩是否仍可被控制？
• RQ3 精细 Selmer 子群及其对偶在高阶扩张中与全局 Iwasawa 上同调及 Coleman 映射之间有何关系？
• RQ4 Coleman 行列式的 p-进赋值在控制消失特征标数量以及由此控制秩增长的过程中起什么作用？

主要发现

• 椭圆曲线 E 在 K 的 ℤₚ²-扩张的第 n 层 Kₙ 上的 Mordell-Weil 秩满足 rank E(Kₙ) = O(pⁿ)，确立了二维增长数量。
• 从 Selmer 子群对偶到精细 Selmer 子群对偶的商映射的核 𝒀′ₙ 的 ℤₚ-秩被控制在 O(pⁿ) 之内，这是通过控制消失特征标实现的。
• 对于导子为 𝔪ₙ 的特征标 θ，其 Coleman 行列式消失的个数在 n 上一致有界，确保了可求和的增长性。
• 在奇异情形下，当 p ∣ aₚ ≠ 0 时，尽管缺乏一般控制定理，但通过使用 Coleman 映射和行列式赋值分析得以克服。
• 关键行列式表达式之间 p-进赋值的差异非零，这是由于分母中存在 p+1 因子，从而保证了赋值互异，使有界性论证成为可能。
• 最终，通过在 n 上求和并利用消失特征标数量的统一有界性，导出了 𝒀′ₙ 秩的 O(pⁿ) 上界。