[论文解读] The Iwasawa Main Conjecture for elliptic curves at odd supersingular primes

Florian Sprung|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文证明了在奇数超奇异素数 $p$ 下椭圆曲线的 Iwasawa 主猜想，确立了 $p$-进 $L$-函数 $L^\sharp$ 与 $L^\flat$ 分别为对偶 Selmer 群 $\operatorname{Hom}(\operatorname{Sel}^{\sharp/\flat}(E/\mathbb{Q}_{\infty}), \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)$ 的特征幂级数。证明策略基于在辅助虚二次域上三个主猜想集之间的等价性，利用整 Euler 系统与 Greenberg 型主猜想，最终导出了解析秩为 0 或 1 时的 $p$-部分 Birch 和 Swinnerton-Dyer 公式。

ABSTRACT

In this paper, we prove the Iwasawa main conjecture for elliptic curves at an odd supersingular prime p. Some consequences are the p-parts of the leading term formulas in the Birch and Swinnerton-Dyer conjectures for analytic rank 0 or 1.

研究动机与目标

• 证明椭圆曲线在奇数超奇异素数 $p$ 下的 Iwasawa 主猜想，因经典形式在非扭 Iwasawa 模与非初等 $p$-进 $L$-函数下失效。
• 将主猜想从平凡与 CM 情况推广至一般超奇异情形，包括 $a_p \neq 0$ 的情况。
• 为解析秩 0 或 1 的椭圆曲线建立 Birch 和 Swinnerton-Dyer 公式的 $p$-部分，将 $L$-函数的首项与算术不变量联系起来。
• 构建一个基于整 Euler 系统与虚二次域上 Greenberg 型主猜想的框架，将问题简化为可处理的形式。

提出的方法

• 建立三组主猜想之间的等价性：$\sharp/\flat$-$\sharp/\flat$ 主猜想在 $\mathbb{Q}$ 上，一组涉及整 Euler 系统 $\Delta_{\sharp}$ 与 $\Delta_{\flat}$ 的新猜想，以及一个单一的 Greenberg 型主猜想。
• 从 Kings–Loeffler–Zerbes 的 Euler 系统 $\Delta_{\alpha}$ 与 $\Delta_{\beta}$ 构造整 Euler 系统 $\Delta_{\sharp}$ 与 $\Delta_{\flat}$。
• 利用小控制定理关联 $\mathbb{Q}$ 与 $\mathbb{Q}_{\infty}$ 上的 Selmer 群，在假设 $L(E,1) \neq 0$ 下确保某些商群的有限性。
• 通过在包含 Coleman 映射与 Iwasawa 上同调的交换图上应用蛇形引理，证明 $p$ 处局部限制映射的单射性。
• 应用 $\Lambda$-模的特征理想理论，将 $p$-进 $L$-函数 $L^{\sharp}$ 与 $L^{\flat}$ 与对偶 Selmer 群的结构联系起来。
• 利用 $E[p]$ 作为 Galois 表示不可约的事实，推导出 $|E(\mathbb{Q})_p| = 1$，从而简化 BSD 公式中的算术不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $p$-进 $L$-函数位于 Iwasawa 代数之外的奇数超奇异素数下，证明椭圆曲线的 Iwasawa 主猜想？
• RQ2 在超奇异情形下，解析秩为 0 或 1 的椭圆曲线的 $p$-部分 Birch 和 Swinnerton-Dyer 公式是否成立？
• RQ3 能否利用虚二次域上的 Greenberg 型主猜想，将 $\mathbb{Q}$ 上的 $\sharp/\flat$-主猜想约化为更易处理的形式？
• RQ4 整 Euler 系统 $\Delta_{\sharp}$ 与 $\Delta_{\flat}$ 的存在性是否允许在超奇异情形下对 Kato 定理的逆命题给出完整证明？

主要发现

• $p$-进 $L$-函数 $L^{\sharp}$ 与 $L^{\flat}$ 分别是 Iwasawa 模 $\operatorname{Hom}(\operatorname{Sel}^{\sharp/\flat}(E/\mathbb{Q}_{\infty}), \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)$ 的特征幂级数，从而在超奇异情形下证明了主猜想。
• 对于解析秩 0，首项 $L(E,1)/\Omega$ 的 $p$-进赋值等于乘积 $|\Sha(E/\mathbb{Q})| \cdot \prod_l c_l$ 的 $p$-进赋值，至多相差 2 与奇质数的幂次。
• 对于解析秩 1，$L'(E,1)/(\operatorname{Reg}(E/\mathbb{Q}) \cdot \Omega)$ 的 $p$-进赋值等于 $|\Sha(E/\mathbb{Q})| \cdot \prod_l c_l / |E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tor}}|^2$ 的 $p$-进赋值。
• 映射 $r_p: H^1(\mathbb{Q}_p, E[p^\infty]) / (E(\mathbb{Q}_p) \otimes \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) \to H^1(\mathbb{Q}_{p,\infty}, E[p^\infty]) / E^\sharp_{\infty,p}$ 是单射，这是控制定理中的关键步骤。
• 小控制定理成立，且 $\mathcal{X}^\bullet / X\mathcal{X}^\bullet$ 与 $\mathcal{X}_0^\bullet / X\mathcal{X}_0^\bullet$ 之间的映射具有有限核与满射性，从而保证了 Selmer 群的 Galois-不变部分的有限性。
• 对偶 Selmer 群的特征理想由 $f^\bullet(0)$ 生成，其 $p$-进赋值与 Selmer 群的 Galois-不变部分与非不变部分的大小之比一致。