[论文解读] Rational BV-algebra in String Topology

Yves Félix, Jean‐Claude Thomas|ArXiv.org|May 29, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文在1-连通闭流形 $M$ 的 Hochschild 上同调 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 上建立了合理的 BV-代数结构，证明当系数在特征为零的域上时，其同构于移位后的同调 $H_{\ast+m}(LM)$ 作为 BV-代数。该构造利用了有理同伦论和 Poincaré 对偶性模型，将弦拓扑中的 Chas-Sullivan BV 结构从上同调提升至 Hochschild 上同调。

ABSTRACT

Let $M$ be a 1-connected closed manifold and $LM$ be the space of free loops on $M$. In \cite{C-S} M. Chas and D. Sullivan defined a structure of BV-algebra on the singular homology of $LM$, $H_\ast(LM; \bk)$. When the field of coefficients is of characteristic zero, we prove that there exists a BV-algebra structure on $\hH^\ast(C^\ast (M); C^\ast (M))$ which carries the canonical structure of Gerstenhaber algebra. We construct then an isomorphism of BV-algebras between $\hH^\ast (C^\ast (M); C^\ast (M)) $ and the shifted $ H_{\ast+m} (LM; {\bk})$. We also prove that the Chas-Sullivan product and the BV-operator behave well with the Hodge decomposition of $H_\ast (LM) $.

研究动机与目标

• 在 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 上建立一个扩展其标准 Gerstenhaber 代数结构的 BV-代数结构。
• 在特征为零的域上，证明 $H_{\ast+m}(LM)$ 与 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 作为 BV-代数的同构。
• 证明 Chas-Sullivan 乘积与 BV 算子与 $H_{\ast}(LM)$ 的 Hodge 分解相容。

提出的方法

• 使用一个与 $C^\ast(M)$ quasi-isomorphic 的 Poincaré 对偶性模型 $A$，其有限维且在度数 $m$ 处满足 Poincaré 对偶性。
• 通过乘法 $\mu$ 的对偶性，定义一个度数为 $m$ 的映射 $\mu_A: A \to A \otimes A$，确保其与微分及 $A$-双模结构相容。
• 利用 $M$ 的极小模型，构造一个 quasi-isomorphism $f: \mathbf{C}^\ast(\mathfrak{M}_M; \mathfrak{M}_M) \to (\mathfrak{M}_M \otimes \bigwedge \bar{V}, \bar{d})$，从而实现代数结构的传递。
• 通过滤子 $H^{[p]}_{\ast}(LM)$（由余上链复形 $\mathcal{C}^\ast(L; UL^\vee_a)$ 导出）利用 $H_{\ast}(LM)$ 的 Hodge 分解，并将其与 $\mathrm{Tor}^{UL}(\mathbb{K}, \Gamma^p)$ 关联。
• 利用 Poincaré-Birkhoff-Witt 同构 $\gamma: \bigwedge L \to UL$ 识别 $\Gamma^p = \gamma(\bigwedge^p V)$，并将 $H^{[p]}_{\ast}(LM)$ 与 $\mathrm{Tor}^{UL}(\mathbb{K}, \Gamma^p)$ 关联。
• 证明在同构下，$H_{\ast+m}(LM)$ 上的 BV 算子与乘积对应于 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 上的标准 BV 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征为零的域上，$\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 是否存在一个扩展其 Gerstenhaber 代数结构的 BV-代数结构？
• RQ2 对于 1-连通流形，是否存在 $H_{\ast+m}(LM)$ 与 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 之间的 BV-代数同构？
• RQ3 Chas-Sullivan 乘积与 BV 算子在 $H_{\ast}(LM)$ 上是否尊重由滤子 $H^{[p]}_{\ast}(LM)$ 导出的 Hodge 分解？

主要发现

• 当系数域的特征为零且 $M$ 为 1-连通时，$\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 上存在一个自然的 BV-代数结构。
• 移位同调 $H_{\ast+m}(LM)$ 与 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 作为 BV-代数同构。
• Chas-Sullivan 乘积与 BV 算子在 $H_{\ast}(LM)$ 上与 Hodge 分解 $H^{[p]}_{\ast}(LM)$ 相容，该分解在对偶下对应于 $\mathrm{Tor}^{UL}(\mathbb{K}, \Gamma^p)$。
• $H_{\ast}(LM)$ 与 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 之间的同构与 Hodge 滤子相容，且保持 BV 结构。
• 该构造依赖于 $C^\ast(M)$ 的 Poincaré 对偶性模型 $A$，从而实现从 $H_{\ast+m}(LM)$ 到 Hochschild 上同调的 BV 结构传递。
• 该结果将先前关于 Gerstenhaber 代数的同构关系推广到了完整的 BV-代数层面，解决了在特征为零的域上弦拓扑领域长期存在的一个问题。