[论文解读] The string topology BV algebra, Hochschild cohomology and the Goldman bracket on surfaces

Dmitry Vaintrob|ArXiv.org|Feb 28, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 18

一句话总结

该论文在双曲曲面及更一般的非平展闭合定向流形的自由环路空间同调上的弦拓扑Batalin-Vilkovisky（BV）代数与基本群的群代数的Hochschild上同调BV代数之间建立了自然同构。通过拓扑与代数构造，作者证明了环路同调上的Chas-Sullivan BV算子经Poincaré对偶化后对应于Connes算子，且环路乘积映射到上面上积，从而在双曲曲面及更一般的非平展流形上完全识别了两侧的BV代数结构。

ABSTRACT

In 1999 Chas and Sullivan discovered that the homology H_*(LX) of the space of free loops on a closed oriented smooth manifold X has a rich algebraic structure called string topology. They proved that H_*(LX) is naturally a Batalin-Vilkovisky (BV) algebra. There are several conjectures connecting the string topology BV algebra with algebraic structures on the Hochschild cohomology of algebras related to the manifold X, but none of them has been verified for manifolds of dimension n>1. In this work we study string topology in the case when X is aspherical (i.e. its homotopy groups π_i(X) vanish for i > 1). In this case the Hochschild cohomology Gerstenhaber algebra HH^*(A) of the group algebra A of the fundamental group of X has a BV structure. Our main result is a theorem establishing a natural isomorphism between the Hochschild cohomology BV algebra HH^*(A) and the string topology BV algebra H_*(LX). In particular, for a closed oriented surface X of hyperbolic type we obtain a complete description of the BV algebra operations on H_*(LX) and HH^*(A) in terms of the Goldman bracket of loops on X. The only manifolds for which the BV algebra structure on H_*(LX) was known before were spheres and complex Stiefel manifolds. Our proof is based on a combination of topological and algebraic constructions allowing us to compute and compare multiplications and BV operators on both H_*(LX) and HH^*(A).

研究动机与目标

• 解决长期存在的猜想：对于维度大于1的流形，弦拓扑BV代数在环路同调上与Hochschild上同调BV代数同构。
• 首次显式计算了球面与复Stiefel流形之外的流形在环路同调上的完整BV代数结构。
• 通过Poincaré对偶性，精确建立Chas-Sullivan BV算子与Hochschild上同调中Connes算子之间的对应关系。
• 证明环路乘积与Gerstenhaber括号在环路同调上对应于Hochschild上同调上的上面上积与李括号。
• 通过将弦拓扑运算与非平展流形的群代数上同调代数联系起来，深化对弦拓扑运算的理解。

提出的方法

• 在环路同调 H_*(LX) 与群代数 A = k[π₁(X)] 的Hochschild同调 HH_*(A) 之间构造一个向量空间同构 ρ。
• 证明 ρ 将 H_*(LX) 上的Chas-Sullivan BV算子 Δ 映射为 HH_*(A) 上的Connes算子 κ。
• 利用对偶解析构造，定义一个Poincaré对偶同构 τ: HH_*(A) → HH^{n-*}(A)。
• 利用 τ 在Hochschild上同调 HH^{*}(A) 上诱导出一个BV算子 λ = τ ∘ κ ∘ τ⁻¹，并证明其与Gerstenhaber代数结构相容。
• 证明复合映射 ξ = τ ∘ ρ: H_*(LX) → HH^{n-*}(A) 是一个保持乘积与BV算子的同构，即为代数同构。
• 证明连接环路乘积、上面上积及各自BV结构的图表可交换，从而确认了完整的BV代数同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非平展流形，是否存在环路同调上的弦拓扑BV代数 H_*(LX) 与Hochschild上同调BV代数 HH^{*}(A) 之间的自然同构？
• RQ2 在Poincaré对偶下，环路同调上的Chas-Sullivan BV算子 Δ 是否对应于Hochschild同调上的Connes算子 κ？
• RQ3 在相同同构下，环路同调上的环路乘积是否可与Hochschild上同调上的上面上积对应？
• RQ4 对于双曲型的闭合定向曲面，能否通过Goldman括号显式描述 H_*(LX) 与 HH^{*}(A) 上的完整BV代数结构？
• RQ5 该同构是否保持弦拓扑与Hochschild上同调之间Gerstenhaber括号结构的兼容性？

主要发现

• 该论文为任意非平展闭合定向流形 X 建立了弦拓扑BV代数 H_*(LX) 与Hochschild上同调BV代数 HH^{*}(A) 之间的自然同构。
• 同构 ξ: H_*(LX) → HH^{n-*}(A) 同时保持结合乘积与BV算子，从而确认了两侧完整BV代数结构的同构性。
• 在同构 ρ 下，环路同调上的Chas-Sullivan BV算子 Δ 映射为Hochschild同调上的Connes算子 κ。
• Poincaré对偶同构 τ: HH_*(A) → HH^{n-*}(A) 在上同调上诱导出一个与Gerstenhaber代数结构相容的BV算子 λ。
• 对于双曲曲面，H_*(LX) 与 HH^{*}(A) 上的BV代数运算均可通过Goldman括号完全描述。
• 同构 ξ 将环路上的Goldman括号映射为Hochschild上同调上的Gerstenhaber括号，从而确认了李型结构的兼容性。