[论文解读] Rational Curves on the Space of Determinantal Nets of Conics

Erik N. Tjøtta|ArXiv.org|Feb 6, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 15

一句话总结

本文研究了在行列式二次曲线束空间 𝒩 上的有理曲线，使用量子上同调与量子 Lefschetz 超平面原理。它计算了 𝒩 中卡勒-雅可比三复叠完全交的有理曲线的瞬子数，并确定了特定卡勒-雅可比截面中直线与二次曲线的数量，通过环面局部化与 Picard-Fuchs 算子提供了显式的枚举不变量。

ABSTRACT

We describe the Hilbert scheme components parametrizing lines and conics on the space of determinantal nets of conics, N. As an application, we use the quantum Lefschetz hyperplane principle to compute the instanton numbers of rational curves on a complete intersection Calabi-Yau threefold in N. We also compute the number of lines and conics on some Calabi-Yau sections of non-decomposable vector bundles on N. The paper contains a brief summary of the A-model theory leading up to Givental-Kim's quantum Lefschetz hyperplane principle.

研究动机与目标

• 理解参数化行列式二次曲线束空间 𝒩 上直线与二次曲线的希尔伯特纲维数分量。
• 应用量子 Lefschetz 超平面原理，计算 𝒩 中完全交卡勒-雅可比三复叠上之有理曲线的瞬子数。
• 确定非可分解向量丛在 𝒩 上的卡勒-雅可比截面中直线与二次曲线的数量。
• 建立一个框架，通过量子上同调与镜像对称将 A 模型物理与代数几何联系起来。

提出的方法

• 利用量子 Lefschetz 超平面原理，将完全交卡勒-雅可比三复叠上的不变量与环境空间 𝒩 上的不变量关联起来。
• 应用环面局部化技术，计算稳定映射到 𝒩 的模空间上的格罗莫夫-威滕不变量。
• 在模空间如 M̄₀,₂(𝒩,1) 与 M¹,¹ 上使用博特定理，计算特征类与下拉类。
• 推导 Picard-Fuchs 算子，以求解控制 𝒩 量子上同调的量子微分方程。
• 分析 𝒩 中直线的切丛分解，以分类其形变理论及环面作用下的不动点。
• 使用通用向量丛与商构造，描述 𝒩 上的查瓦环与典范类。

实验结果

研究问题

• RQ1 参数化行列式二次曲线束空间 𝒩 上直线与二次曲线的希尔伯特纲维数分量是什么？
• RQ2 如何应用量子 Lefschetz 超平面原理，计算 𝒩 中卡勒-雅可比三复叠上之有理曲线的瞬子数？
• RQ3 非可分解向量丛在 𝒩 上的卡勒-雅可比截面中，直线与二次曲线的数量是多少？
• RQ4 𝒩 上的 Picard-Fuchs 算子如何控制 A 模型中的量子微分方程与关联函数？
• RQ5 稳定映射到 𝒩 的模空间结构如何？环面局部化如何导出枚举不变量？

主要发现

• 𝒩 上直线的模空间有两个分量：一个具有法丛 𝒪(2)⊕𝒪(1)⊕4𝒪，另一个具有 𝒪(2)⊕2𝒪(1)⊕2𝒪⊕𝒪(−1)，反映了不同的形变类型。
• 通过将量子 Lefschetz 超平面原理应用于环境空间 𝒩，计算了 𝒩 中完全交卡勒-雅可比三复叠上之有理曲线的瞬子数。
• 通过在模空间 M̄₀,₀(𝒩,1) 上进行不动点局部化，确定了某些非可分解向量丛在 𝒩 上的卡勒-雅可比截面中直线的数量。
• 通过 𝒩 上的二次曲线希尔伯特纲维数，研究了卡勒-雅可比三复叠上的二次曲线，利用环面等变积分获得显式计数。
• 推导出 𝒩 量子 D-模的 Picard-Fuchs 算子，从而可从初始数据递归计算格罗莫夫-威滕不变量。
• 本文提供了用于计算 Picard-Fuchs 算子与格罗莫夫-威滕不变量的显式 MAPLE 代码，支持结果的可复现性。