[论文解读] Dual Cones and Mirror Symmetry for Generalized Calabi-Yau Manifolds

Victor V. Batyrev, Lev Borisov|ArXiv.org|Feb 3, 1994

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 106

一句话总结

本文引入反射 Gorenstein 锥作为组合框架，以推广 Calabi-Yau 流形的镜像对称性，通过 toric 几何将其扩展至维度为 $d + 2(r-1)$ 的广义 Calabi-Yau 代数簇。这些锥的对偶性对应于镜像对称，统一了已知的构造方法，并为刚性 Calabi-Yau 流形的镜像提供了数学解释。

ABSTRACT

We introduce a special class of convex rational polyhedral cones which allows to construct generalized Calabi-Yau varieties of dimension $(d + 2(r-1))$, where $r$ is a positive integer and d is the dimension of critical string vacua with central chatge $c = 3d$. It is conjectured that the natural combinatorial duality satisfies by these cones corresponds to the mirror involution. Using the theory of toric varieties, we show that our conjecture includes as special cases all already known examples of mirror pairs proposed by physicists and agrees with previous conjectures of the authors concerning explicit constructions of mirror manifolds. In particular we obtain a mathematical framework which explains the construction of mirrors of rigid Calabi-Yau manifolds.

研究动机与目标

• 开发一个数学框架，以解释标准 Calabi-Yau 情况之外的广义 Calabi-Yau 流形的镜像对称性。
• 通过 Gorenstein 锥将反射多面体的组合对偶性推广至高维广义 Calabi-Yau 代数簇。
• 调和刚性 Calabi-Yau 流形的镜像对称性与反射 Gorenstein 锥的对偶性之间的关系。
• 在单一的 toric-几何形式体系中统一已知的镜像构造，特别是 Schimmrigk 及其他人的构造。

提出的方法

• 将反射 Gorenstein 锥定义为格点中的有理多面锥，其具有规范对偶，确保相关 toric 代数簇具有 Gorenstein 奇点，且其某个层的 $r$ 次张量幂为 canonical 层。
• 利用这些锥的对偶性，定义类似于 $N=2$ 超共形场论中的镜像对合。
• 将广义 Calabi-Yau 流形构造为 toric Fano 代数簇 ${{\bf P}_\sigma}$ 上的层 $\mathcal{O}_{{\bf P}_\sigma}(1)$ 的整体截面的零点集。
• 通过组合约化技术，将 Gorenstein toric Fano 代数簇中的完全交约化为高维 toric 代数簇中的超曲面。
• 通过 duality 建立定义 Calabi-Yau 完全交的 nef-划分与反射 Gorenstein 锥之间的对应关系。
• 利用锥的对偶性与商奇点的几何，计算 Hodge 数与上同调不变量，特别是针对 $({\bf P}_\Delta)^d/G$。

实验结果

研究问题

• RQ1 反射 Gorenstein 锥的对偶性是否能为广义 Calabi-Yau 流形中的镜像对称提供统一的框架？
• RQ2 这些锥的对偶性与 $N=2$ 超共形场论中的镜像对合有何关系？
• RQ3 刚性 Calabi-Yau 流形的镜像构造能否通过这种锥对偶性来解释？
• RQ4 反射 Gorenstein 锥的对偶性是否能重现已知的镜像对，包括 Schimmrigk 的那些？

主要发现

• 反射 Gorenstein 锥的对偶性对应于 $N=2$ 超共形场论中的镜像对合，为镜像对称提供了组合实现。
• 该构造在维度 $d + 2(r-1)$ 上产生广义 Calabi-Yau 流形，作为 $\mathcal{O}_{{\bf P}_\sigma}(1)$ 截面的零点集，且其 $r$ 次张量幂同构于反 canonical 层。
• 当 $d=3$ 时，该构造产生一个刚性 Calabi-Yau 3-流形 $Z'$，其为 $E_0 \times E_0 \times E_0$ 关于 ${\bf Z}/3{\bf Z}$ 作用的商，其镜像为一个 7 维立方超曲面的商。
• 商 $({\bf P}_\Delta)^d/G$ 的解析化 $\hat{Z}$ 的 Hodge $h^{1,1}$-数被计算为 $\frac{d(3d-1)(3d-2)}{2}$，确认了上同调的一致性。
• 反射 Gorenstein 锥之间的对偶性与用于在 toric 代数簇中构造 Calabi-Yau 完全交的 nef-划分对偶性一致。