[论文解读] Rational parametrizations of moduli spaces of curves

Alessandro Verra|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 5

一句话总结

该论文通过在 $\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 上对二次型对称矩阵构造的有理参数化，建立了 $g \leq 6$ 时普里姆模空间 $\rho_g$ 的有理连通性，构造了其关联的普里姆对支配 $\mathcal{R}_g$ 的可接受圆锥丛。关键结果是 $\mathcal{R}_g$ 在 $g \leq 6$ 时为有理连通的，通过证明从 $\delta$-节点圆锥丛空间到 $\mathcal{R}_g$ 的自然映射是满射且有理的而实现。

ABSTRACT

The paper aims to give an account, both historical and geometric, on the diverse geography of rational parametrizations of moduli spaces related to curves. It is a contribution to the book Handbook of Moduli, editors G. Farkas and I. Morrison, to be published by International Press. Refereed version.

研究动机与目标

• 通过涉及圆锥丛的几何构造，研究曲线模空间（特别是普里姆模空间 $\mathcal{R}_g$）的有理参数化。
• 通过从圆锥丛族到模空间的满射有理映射构造，建立 $\mathcal{R}_g$ 在 $g \leq 6$ 时的有理连通性。
• 将经典节点平面曲线的有理连通性技术扩展至 $\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 中的高维圆锥丛构造。
• 通过判别曲线及其相关线丛，将可接受圆锥丛的几何与普里姆对的模空间联系起来。

提出的方法

• 在 $\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 中构造由方程 $xMy = 0$ 定义的圆锥丛 $V$，其中 $M$ 是 $x$-坐标上二次型的对称 $3 \times 3$ 矩阵。
• 利用 $M$ 的行列式定义一个度数为 6 的判别曲线 $C'$，其具有 $\delta = 10 - g$ 个节点，双有理等价于亏格为 $g$ 的曲线 $C$。
• 通过 $C'$ 的正规化 $C$ 上的非平凡 2-挠线丛 $L$，为每个此类圆锥丛关联一个平展双覆盖 $\pi: \tilde{C} \to C$。
• 将普里姆对 $(C, L)$ 定义为圆锥丛的模点，其中 $L$ 是 $C'$ 上非平凡线丛 $L'$ 的拉回。
• 证明从 $|V|_\delta$（可接受圆锥丛空间）到 $\mathcal{R}_g$ 的自然映射 $m$ 在 $g \leq 6$ 时是满射的。
• 通过在 $\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 中固定 $\delta$ 个一般点，建立 $|V|_\delta$ 的有理性，从而实现 $\mathcal{R}_g$ 的有理参数化。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $g \leq 6$ 时，模空间 $\mathcal{R}_g$ 是否为有理连通的？
• RQ2 能否通过 $\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 中的圆锥丛构造 $\mathcal{R}_g$ 的有理参数化？
• RQ3 节点判别曲线的几何结构如何与关联圆锥丛的普里姆结构相关联？
• RQ4 对称二次型矩阵在参数化 $\mathcal{R}_g$ 中起什么作用？
• RQ5 能否利用 $\delta$-节点圆锥丛空间有理支配 $\mathcal{R}_g$？

主要发现

• 模空间 $\mathcal{R}_g$ 在 $g \leq 6$ 时为有理连通的，通过构造从 $\delta$-节点圆锥丛空间到 $\mathcal{R}_g$ 的满射有理映射而证明。
• 当 $g = 6$ 时，4-节点圆锥丛空间 $|V|_\delta$ 为有理的，且自然映射 $m: |V|_\delta \to \mathcal{R}_6$ 是满射的，这意味着 $\mathcal{R}_6$ 是有理连通的。
• 该构造使用对称矩阵 $M$ 的二次型来定义 $\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 中的圆锥丛 $V$，且 $|V| = |\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2}(2,2)|$。
• 此类圆锥丛的判别曲线 $C'$ 是一个具有 $\delta = 10 - g$ 个节点的六次曲线，其正规化 $C$ 支持一个非平凡线丛 $L$，满足 $L^{\otimes 2} \cong \mathcal{O}_C$。
• 当 $g \leq 6$ 时，映射 $m: |V|_\delta \to \mathcal{R}_g$ 是满射的，因为每个一般普里姆对均可由此类圆锥丛实现。
• 当 $g = 6$ 时，空间 $|V|_\delta$ 与 $|\mathcal{I}_Z^2(2,2)|$（$Z$ 为固定 4 个一般点的集合）双有理等价，从而确认了参数空间的有理性。