[论文解读] Rationality of the SL(2,C)-Reidemeister torsion in dimension 3

Jérôme Dubois, Stavros Garoufalidis|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文证明了，对于具有一个尖点且无2-挠的有限体积双曲3-流形，SL(2,C)-Reidemeister torsion 是其特征簇上的有理函数，其取值位于不变迹域的至多二次扩张中。该研究建立了 torsion 与子午线或母线迹之间的多项式关系，支持了量子拓扑中渐近不变量的有理性。

ABSTRACT

If $M$ is a finite volume complete hyperbolic 3-manifold with one cusp and no 2-torsion, the geometric component $X_M$ of its $\SL(2,\BC)$-character variety is an affine complex curve, which is smooth at the discrete faithful representation $ρ_0$. Porti defined a non-abelian Reidemeister torsion in a neighborhood of $ρ_0$ in $X_M$ and observed that it is an analytic map, which is the germ of a unique rational function on $X_M$. In the present paper we prove that (a) the torsion of a representation lies in at most quadratic extension of the invariant trace field of the representation, and (b) the existence of a polynomial relation of the torsion of a representation and the trace of the meridian or the longitude. We postulate that the coefficients of the $1/N^k$-asymptotics of the Parametrized Volume Conjecture for $M$ are elements of the field of rational functions on $X_M$.

研究动机与目标

• 在具有一个尖点且无2-挠的双曲3-流形背景下，建立SL(2,C)-Reidemeister torsion 的有理性。
• 证明任意表示的 torsion 位于该表示的不变迹域的至多二次扩张中。
• 证明在特征簇中，torsion 与子午线或母线迹之间存在多项式关系。
• 支持一个猜想：体积猜想的 1/N^k 渐近展开中的系数是特征簇上的有理函数。

提出的方法

• 利用双曲3-流形 $M$ 的 SL(2,C)-特征簇的几何分支 $X_M$，其为在离散忠实表示 $\rho_0$ 处光滑的仿射复曲线。
• 应用 Porti 定义的非交换 Reidemeister torsion 作为 $\rho_0$ 邻域内的解析函数，证明其为 $X_M$ 上有理函数的芽。
• 采用增强表示理论与形状域理论，分析特征簇的系数域。
• 利用理想三角剖分与胶合方程描述特征簇及其有理函数。
• 应用代数几何结果，包括仿射曲线函数域的超越次数为1，推导出 torsion 函数的有理性。
• 依赖于 $A$-多项式及其与 torsion 的关系公式 $\tau_\mu = \tau_\lambda \cdot \left(\frac{\operatorname{tr}_\lambda^2 - 4}{\operatorname{tr}_\mu^2 - 4}\right)^{1/2} \cdot \frac{\partial \operatorname{tr}_\mu}{\partial \operatorname{tr}_\lambda}$，将 torsion 与单值化迹联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有一个尖点且无2-挠的双曲3-流形，SL(2,C)-Reidemeister torsion 是否为特征簇上的有理函数？
• RQ2 torsion 在多大程度上位于表示的不变迹域的代数扩张中？
• RQ3 在特征簇中，torsion 与子午线或母线迹之间是否存在多项式关系？
• RQ4 体积猜想的 1/N^k 展开中的渐近系数是否可表示为特征簇上的有理函数？
• RQ5 非交换 Reidemeister torsion 如何依赖于边界环面上传播曲线的选择？

主要发现

• 非交换 Reidemeister torsion 是 SL(2,C)-特征簇 $X_M$ 上有理函数的芽，$X_M$ 为仿射复曲线。
• 任意表示的 torsion 位于该表示的不变迹域的至多二次扩张中。
• 在特征簇中，存在表示的 torsion 与子午线或母线迹之间的多项式关系。
• 特征簇 $X_M$ 上的有理函数域包含了参数化体积猜想的 1/N^k 展开中所有渐近系数。
• 紧化特征簇 $\overline{X}_{M,\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})}$ 上的 torsion 函数 $\tau_\gamma$ 为有理函数，其对传插曲线 $\gamma$ 的依赖关系由 $A$-多项式控制。
• torsion 满足变换律 $\tau_\mu = \tau_\lambda \cdot \left(\frac{\operatorname{tr}_\lambda^2 - 4}{\operatorname{tr}_\mu^2 - 4}\right)^{1/2} \cdot \frac{\partial \operatorname{tr}_\mu}{\partial \operatorname{tr}_\lambda}$，通过 $A$-多项式将子午线与母线 torsion 联系起来。