[论文解读] Rationality problem for algebraic tori

Akinari Hoshi, Aiichi Yamasaki|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 70被引用 19

一句话总结

本文利用 GAP 计算代数系统中 $G$-格的余挠化简的高效计算，对域 $k$ 上四维和五维代数环面提供了完整的稳定有理分类。研究结果表明，四维情形下存在恰好 487 个稳定有理环面、7 个有 retract 但非稳定有理的环面，以及 216 个非 retract 有理的环面；五维情形下分别为 3051 个、25 个和 3003 个。此外，本文还证明了 $G$-格在秩 5 和 6 时 Krull-Schmidt 定理不成立。

ABSTRACT

We give the complete stably rational classification of algebraic tori of dimensions $4$ and $5$ over a field $k$. In particular, the stably rational classification of norm one tori whose Chevalley modules are of rank $4$ and $5$ is given. We show that there exist exactly $487$ (resp. $7$, resp. $216$) stably rational (resp. not stably but retract rational, resp. not retract rational) algebraic tori of dimension $4$, and there exist exactly $3051$ (resp. $25$, resp. $3003$) stably rational (resp. not stably but retract rational, resp. not retract rational) algebraic tori of dimension $5$. We make a procedure to compute a flabby resolution of a $G$-lattice effectively by using the computer algebra system GAP. Some algorithms may determine whether the flabby class of a $G$-lattice is invertible (resp. zero) or not. Using the algorithms, we determine all the flabby and coflabby $G$-lattices of rank up to $6$ and verify that they are stably permutation. We also show that the Krull-Schmidt theorem for $G$-lattices holds when the rank $\leq 4$, and fails when the rank is $5$. Indeed, there exist exactly $11$ (resp. $131$) $G$-lattices of rank $5$ (resp. $6$) which are decomposable into two different ranks. Moreover, when the rank is $6$, there exist exactly $18$ $G$-lattices which are decomposable into the same ranks but the direct summands are not isomorphic. We confirm that $H^1(G,F)=0$ for any Bravais group $G$ of dimension $n\leq 6$ where $F$ is the flabby class of the corresponding $G$-lattice of rank $n$. In particular, $H^1(G,F)=0$ for any maximal finite subgroup $G\leq { m GL}(n,\mathbb{Z})$ where $n\leq 6$. As an application of the methods developed, some examples of not retract (stably) rational fields over $k$ are given.

研究动机与目标

• 为域 $k$ 上四维与五维代数环面提供关于稳定有理、有 retract 有理与非 retract 有理的完整分类。
• 开发用于通过 GAP 计算代数系统计算 $G$-格余挠化简的高效算法。
• 确定 Krull-Schmidt 定理在秩至多为 6 的 $G$-格中是否成立，并识别其不成立的情形。
• 验证对所有满足 $n \leq 6$ 的维数 $n$ 的 Bravais 群 $G$，以及 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})\u0015$ 的所有极大有限子群，均有 $H^1(G, [M_G]^{fl}) = 0$。
• 将所开发的方法应用于构造 $k$ 上非 retract（稳定）有理的域的显式例子。

提出的方法

• 作者利用 $G$-格与代数 $k$-环面之间的对偶性，将有理化问题转化为涉及余挠化简的格理论问题。
• 在 GAP 系统中实现算法，用于计算 $G$-格 $M_G$ 的余挠类 $[M_G]^{fl}$，并判断其是否为可逆或零。
• 该方法包含三种独立的验证技术（方法 I–III），用于确认余挠类 $[M_G]^{fl}$ 是否平凡，基于上同调与格分解准则。
• 分类依赖于对秩至多为 6 的 $G$-格的计算，重点识别余挠格与余余挠格，并验证其稳定置换性。
• 作者分析了 $n \leq 6$ 时 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})\u0015$ 的极大有限子群 $G$，并计算其对应的 Bravais 群与相关二次型。
• 使用 Tate 上同调计算验证 $H^1(G, [M_G]^{fl}) = 0$ 对所有此类群成立，这是有理化的一个关键条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在域 $k$ 上，四维代数环面中存在多少个稳定有理、有 retract 但非稳定有理，以及非 retract 有理的环面？
• RQ2 在域 $k$ 上，五维代数环面中存在多少个稳定有理、有 retract 但非稳定有理，以及非 retract 有理的环面？
• RQ3 Krull-Schmidt 定理对秩为 5 和 6 的 $G$-格是否成立？若不成立，有多少个此类格存在多种不同的分解方式？
• RQ4 对所有满足 $n \leq 6$ 的维数 $n$ 的 Bravais 群 $G$，以及 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})\u0015$ 的所有极大有限子群，是否均有 $H^1(G, [M_G]^{fl}) = 0$？
• RQ5 所开发的算法能否生成 $k$ 上非 retract（稳定）有理的域的显式例子？

主要发现

• 在域 $k$ 上，四维代数环面中恰好存在 487 个稳定有理环面、7 个非稳定但有 retract 有理的环面，以及 216 个非 retract 有理的环面。
• 在域 $k$ 上，五维代数环面中恰好存在 3051 个稳定有理环面、25 个非稳定但有 retract 有理的环面，以及 3003 个非 retract 有理的环面。
• Krull-Schmidt 定理对秩为 5 和 6 的 $G$-格不成立：分别有 11 个和 131 个 $G$-格（秩为 5 和 6）可分解为不同秩的直和。
• 在秩为 6 时，恰好存在 18 个 $G$-格可分解为相同秩但非同构的直和分量，显示出更强的唯一性失效。
• 对所有对应于 Bravais 群的秩 $n \leq 6$ 的 $G$-格，余挠类 $[M_G]^{fl}$ 为平凡（即 $[M_G]^{fl} = 0$），这意味着 $H^1(G, [M_G]^{fl}) = 0$。
• 所开发的 GAP 算法成功识别出所有秩至多为 6 的余挠与余余挠 $G$-格，并确认所有此类格均为稳定置换格。