[论文解读] Real-frequency quantum field theory applied to the single-impurity Anderson model

Anxiang Ge, Nepomuk Ritz+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2023

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 118被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种基于凯尔迪什形式的实频率量子场论框架，利用功能流变频微扰论（fRG）与包含四点顶点全三频依赖性的自洽抛物线方程，直接计算单杂质安德森模型中的动力学关联函数。通过采用一环功能流变频微扰论（fRG）与自洽抛物线方程，实现了相较于以往fRG方法的显著精度提升，并与数值重整化群（NRG）基准数据达到最佳一致，尤其在弱至中等耦合区域（u < 1）表现优异。

ABSTRACT

A major challenge in the field of correlated electrons is the computation of dynamical correlation functions. For comparisons with experiment, one is interested in their real-frequency dependence. This is difficult to compute, as imaginary-frequency data from the Matsubara formalism require analytic continuation, a numerically ill-posed problem. Here, we apply quantum field theory to the single-impurity Anderson model (AM), using the Keldysh instead of the Matsubara formalism with direct access to the self-energy and dynamical susceptibilities on the real-frequency axis. We present results from the functional renormalization group (fRG) at one-loop level and from solving the self-consistent parquet equations in the parquet approximation. In contrast to previous Keldysh fRG works, we employ a parametrization of the four-point vertex which captures its full dependence on three real-frequency arguments. We compare our results to benchmark data obtained with the numerical renormalization group and to second-order perturbation theory. We find that capturing the full frequency dependence of the four-point vertex significantly improves the fRG results compared to previous implementations, and that solving the parquet equations yields the best agreement with the NRG benchmark data, but is only feasible up to moderate interaction strengths. Our methodical advances pave the way for treating more complicated models in the future.

研究动机与目标

• 为了解决关联电子系统中从虚频率到实频率解析延拓的数值不适定性问题。
• 发展一种直接计算自能与动力学磁化率而不依赖马苏巴拉形式的实频率量子场论框架。
• 在非微扰区域中实现对具有四点顶点全三频依赖性的两体关联函数的精确计算。
• 将凯尔迪什fRG与抛物线方法的性能与数值精确的NRG数据在单杂质安德森模型中进行基准对比。
• 为将这些方法扩展至更复杂的模型（包括具有实频率两体顶点的动态平均场理论）奠定基础。

提出的方法

• 采用凯尔迪什形式而非马苏巴拉形式，以直接获取实频率关联函数。
• 应用一环功能流变频微扰论（fRG）流，对依赖于三个独立实频率参数的四点顶点进行完整参数化。
• 使用定点迭代法结合安德森加速与部分更新稳定化技术，求解抛物线近似（PA）中的自洽抛物线方程。
• 采用具有误差控制的自适应龙格-库塔积分法求解fRG流方程，通过重新参数化的流参数实现高效的步长控制。
• 以数值精确的NRG数据作为自能与四点顶点函数的基准，尤其针对静态磁化率与谱函数。
• 在自能计算中使用最多401个频率点，在顶点的三频$K_3$分量中使用101个频率点，通过对比凯尔迪什与马苏巴拉形式的结果验证收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在四点顶点具有全三频依赖性的凯尔迪什fRG方法中，是否能优于以往使用简化顶点参数化的实现？
• RQ2 与数值精确的NRG数据相比，fRG与抛物线方法在实频率下计算自能与动力学磁化率的精度如何？
• RQ3 在使用具有全频率依赖性的实频率顶点时，抛物线近似中求解抛物线方程的有效适用范围是什么？
• RQ4 在单杂质安德森模型中，捕捉四点顶点全频率依赖性在多大程度上提升了fRG结果的精度？
• RQ5 在当前计算资源与优化技术下，能否有效管理三维频率依赖顶点的存储与计算开销？

主要发现

• 在凯尔迪什fRG中对四点顶点采用全三频参数化，相较于以往使用近似顶点依赖关系的fRG实现，显著提升了精度。
• 在抛物线近似中求解抛物线方程，与NRG基准数据的吻合度最佳，尤其在弱至中等耦合区域（u < 1）表现突出。
• 抛物线求解器仅在中等相互作用强度下能可靠收敛，当$u$略小于1时需$N_{K_3} = 101$个频率点，而在更高$u$值时则失败。
• 计算开销呈$\mathcal{O}(N_{K_3}^3)$量级，对于$N_{K_3} = 101$与150次迭代，最昂贵的计算在32个节点（1024个线程）上耗时约两天。
• 凯尔迪什与马苏巴拉形式实现之间静态磁化率的收敛性在1‰以内，验证了数值框架的正确性。
• 采用自适应步长控制与重新参数化的流参数$\Lambda(t)$，确保了fRG积分的稳定与精确，相对误差容限为$10^{-6}$。