[论文解读] Realizability and inscribability for some simplicial spheres and matroid polytopes

Moritz Firsching|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 41被引用 3

一句话总结

该论文应用非线性优化技术实现并刻画了拟阵多面体和单纯形球面，对具有11个顶点的邻近4-、6-和7维多面体、具有10个顶点的邻近5-多面体，以及具有10个顶点的单纯形3-球面实现了完整的分类，区分为多面体型与非多面体型，且发现许多可实现的多面体也具有可内接性。

ABSTRACT

We show that non-linear optimization techniques can successfully be applied to realize and to inscribe matroid polytopes and simplicial spheres. Thus we obtain a variety of results, which include a complete classification of neighborly polytopes of dimension 4, 6 and 7 with 11 vertices, of neighborly 5-polytopes with 10 vertices, as well as a complete classification of simplicial 3-spheres with 10 vertices into polytopal and non-polytopal spheres. Surprisingly many of the realizable polytopes are also inscribable.

研究动机与目标

• 使用非线性优化确定哪些单纯形球面和拟阵多面体可以作为凸多面体实现。
• 对特定维度和顶点数的邻近多面体进行分类，特别是4、5、6和7维的情况。
• 区分具有10个顶点的单纯形3-球面中哪些是多面体型，哪些是非多面体型。
• 研究可实现多面体的可内接性，特别是源自邻近构型的多面体。

提出的方法

• 使用非线性优化求解拟阵多面体和单纯形球面的可实现性问题。
• 利用优化方法检验给定的组合球面或拟阵多面体是否可嵌入为欧氏空间中的凸多面体。
• 采用相同框架检验可内接性，即多面体是否可实现为所有顶点位于球面上。
• 借助计算代数几何和数值延续方法处理实现与可内接性中的非线性约束。
• 系统分析低维中的邻近构型，以实现完整分类。
• 通过计算验证可实现性与可内接性条件来验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有10个顶点的单纯形3-球面中，哪些是多面体型，哪些不是？
• RQ2 具有10个顶点的邻近5-多面体的完整分类是什么？
• RQ3 具有11个顶点的邻近4-、6-和7维多面体共有多少个，其中哪些是可实现的？
• RQ4 可实现的邻近多面体在多大程度上也具有可内接性？
• RQ5 非线性优化能否有效解决拟阵多面体和单纯形球面的可实现性与可内接性问题？

主要发现

• 通过非线性优化，成功实现了具有11个顶点的邻近4-、6-和7维多面体的完整分类。