[论文解读] Realizability Interpretation and Normalization of Typed Call-by-Need $$\\lambda$$-calculus With Control

Étienne Miquey, Hugo Herbelin|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文提出了一种克里文实现的变体，其中实现者为闭包（项与代换的配对），以证明阿里奥拉等人所定义的带控制的简单类型、按需求值 $\lambda$-演算的归约性。关键贡献在于一种能够处理按需求值中延迟代换的实现解释，从而使得一阶和二阶类型系统都能进行归约性证明，包括为经典二阶算术带依赖选择公理的归约性奠定基础。

ABSTRACT

We define a variant of realizability where realizers are pairs of a term and a substitution. This variant allows us to prove the normalization of a simply-typed call-by-need $$\\lambda$-$calculus with control due to Ariola et al. Indeed, in such call-by-need calculus, substitutions have to be delayed until knowing if an argument is really needed. In a second step, we extend the proof to a call-by-need $$\\lambda$$-calculus equipped with a type system equivalent to classical second-order predicate logic, representing one step towards proving the normalization of the call-by-need classical second-order arithmetic introduced by the second author to provide a proof-as-program interpretation of the axiom of dependent choice.

研究动机与目标

• 为解决缺乏基于实现的按需求值 $\lambda$-演算带控制的归约性证明的问题，特别是由于延迟代换带来的挑战。
• 将克里文实现扩展至处理闭包（带代换的项），使其能够建模按需求值策略。
• 证明带控制的简单类型按需求值 $\lambda$-演算的归约性，并将结果扩展至一阶与二阶量化。
• 为 $\text{dPA}^\omega$ 的实现解释奠定基础，这是一个用于经典二阶算术带依赖选择公理的按需求值演算。
• 证明实现技术可适应经典证明系统中的惰性求值与共享内存模型。

提出的方法

• 引入克里文实现的一种变体，其中实现者为闭包——即项与代换的配对，而非原始项。
• 定义一种实现解释，显式追踪代换，从而允许在按需求值中延迟代换。
• 构建一个实现模型，其中类型被解释为满足归约性与类型约束的闭包集合。
• 使用这种基于闭包的实现框架，证明 ${\overline{\lambda}_{[lv\tau\star]}}$-演算的课题约化与强归约性。
• 通过将全称量化解释为所有有效实例的交集，将解释扩展至一阶与二阶全称量化。
• 利用该框架对延续与存储传递风格翻译进行类型化，通过克里普克风格的强迫关系反映存储的可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将克里文实现适应于处理按需求值中固有的延迟代换模式？
• RQ2 能否为带控制的类型化按需求值 $\lambda$-演算构造一种实现解释，以确保归约性？
• RQ3 基于闭包的实现模型是否能以与经典逻辑一致的方式支持一阶与二阶量化？
• RQ4 该框架能否用于证明 $\text{dPA}^\omega$ 的归约性，即一个用于经典二阶算术的按需求值演算？
• RQ5 该实现模型与阿里奥拉等人或张-费莱森等人的按需求值演算的其他表述之间有何关系？

主要发现

• 本文成功使用基于闭包的实现解释，证明了简单类型 ${\overline{\lambda}_{[lv\tau\star]}}$-演算的归约性。
• 实现模型显式处理代换，使其适用于代换被延迟到需要时才执行的按需求值。
• 该框架自然扩展至一阶与二阶量化，将全称量词解释为所有有效实例的交集。
• 该方法为证明 $\text{dPA}^\omega$ 的归约性提供了基础，该系统旨在通过惰性求值实现依赖选择公理。
• 该方法为使用控制、惰性求值与共享内存对经典证明进行计算解释提供了支持，与 Curry-Howard 原理一致。
• 基于闭包的实现模型与延续与存储传递风格翻译兼容，存储的可扩展性通过克里普克风格的类型系统得以体现。