[论文解读] Reassessing the computational advantage of quantum-controlled ordering of gates

Martin J. Renner, Časlav Brukner|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用 14

一句话总结

本文重新評估了不確定因果秩序在解決傅里葉承諾問題（FPP）中的量子優勢，表明因果量子演算法可實現遠比先前認為更好的查詢複雜度。透過利用排列相位的結構化分解與遞迴區塊處理，作者提出一種因果演算法，可在 O(n log n) 次查詢內解決特定 FPP，並在 O(n√n) 次查詢內解決一般 FPP——將量子-n-切換的預期量子優勢從 O(n²) 降低至 O(n log n) 或 O(n√n)。

ABSTRACT

Research on indefinite causal structures is a rapidly evolving field that has a potential not only to make a radical revision of the classical understanding of space-time but also to achieve enhanced functionalities of quantum information processing. For example, it is known that indefinite causal structures provide exponential advantage in communication complexity when compared to causal protocols. In quantum computation, such structures can decide whether two unitary gates commute or anticommute with a single call to each gate, which is impossible with conventional (causal) quantum algorithms. A generalization of this effect to $n$ unitary gates, originally introduced in M. Ara\'ujo et al., Phys. Rev. Lett. 113, 250402 (2014) and often called Fourier promise problem (FPP), can be solved with the quantum-$n$-switch and a single call to each gate, while the best known causal algorithm so far calls $O(n^2)$ gates. In this work, we show that this advantage is smaller than expected. In fact, we present a causal algorithm that solves the only known specific FPP with $O(n \log(n))$ queries and a causal algorithm that solves every FPP with $O(n\sqrt{n})$ queries. Besides the interest in such algorithms on their own, our results limit the expected advantage of indefinite causal structures for these problems.

研究动机与目标

• 重新評估透過量子-n-切換實現門的量子控制排序所聲稱的計算優勢，以解決傅里葉承諾問題（FPP）。
• 發展高效能的因果量子演算法，使其在 FPP 情境下的查詢複雜度與量子-n-切換相當或更優越。
• 透過構建具有近似最佳查詢規模的因果替代方案，證明不確定因果結構在 FPP 中的指數或二次優勢被高估。

提出的方法

• 提出將排列遞迴分解為大小為 ˆn = n/2 的子區塊，以實現跨區塊的相位累積。
• 每區塊使用 ˆk = n/ˆn = 2 個控制量子位元的控制系統，以編碼排列順序並管理相位累積。
• 引入雙目標系統方法：一個系統 |Ψk⟩ 處理正向排列，另一個系統 |Φk⟩ 處理反向排列，以消除不必要的相對相位。
• 使用階乘數系統標記排列，並將其映射至控制量子位元狀態，以實現系統性的相位追蹤。
• 推導出一個關鍵恆等式（式 B.15），顯示在反向區塊中，排列區塊與基底排列之間的相對相位會被反轉，進而實現相位抵消。
• 將此相位抵消機制應用於多個區塊，以在最小化門呼叫次數的同時，維持完整排列的總相位。

实验结果

研究问题

• RQ1 因果量子演算法是否能在傅里葉承諾問題上實現與量子-n-切換競爭的查詢複雜度？
• RQ2 僅使用因果量子電路解決 FPP 所需的最少查詢次數為何？
• RQ3 當考慮更高效的因果演算法時，不確定因果秩序在 FPP 中所聲稱的指數或二次優勢是否仍然成立？
• RQ4 透過排列的結構化分解與相位抵消，是否能減少對門排序超級位置態的依賴？
• RQ5 因果演算法在特定與一般 FPP 情境下，其查詢複雜度如何隨 n 變化？

主要发现

• 因果演算法以 O(n log n) 次查詢解決特定 FPP，顯著優於先前認為因果電路的 O(n²) 下限。
• 一般因果演算法以 O(n√n) 次查詢解決所有 FPP，顯示量子-n-切換的優勢是有限的，並非指數級。
• 本文證明，排列的總相位可分解為成對相位 αij，進而實現系統性的相位追蹤與抵消。
• 正向與反向區塊之間的相位抵消機制確保了完整排列的淨相位不變，同時減少門呼叫次數。
• 當 n = 8 時，該演算法僅需 46 次黑箱單位操作（較原先的 56 次減少），透過省略冗餘目標系統與控制量子位元，展現實用效率。
• 結果顯示，不確定因果結構在 FPP 中的計算優勢小於先前預期，限制了其在量子優勢情境下的預期效益。