[论文解读] Recent Development on the Geometry of the Teichmuller and Moduli Spaces of Riemann Surfaces and Polarized Calabi-Yau Manifolds

Kefeng Liu, Xiaofeng Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文介绍了黎曼曲面及极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间与模空间在微分几何与代数几何方面的最新进展。该文建立了极化Calabi-Yau流形与超凯勒流形的Teichmüller空间的全局Torelli定理，证明了全局全纯平坦联络的存在性，并通过曲率估计与丘成桐对Calabi猜想的解，展示了这些Teichmüller空间到具有唯一Kähler-Einstein度量的Hodge完备化空间的全纯嵌入。

ABSTRACT

We survey our recent new results on the geometry of Teichmuller and moduli spaces of Riemann surfaces and Calabi-Yau manifolds.

研究动机与目标

• 建立极化Calabi-Yau流形与超凯勒流形的Teichmüller空间的全局Torelli定理。
• 证明极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间上存在全局全纯平坦联络。
• 展示极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间可全纯嵌入欧几里得空间。
• 证明极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间的Hodge完备化上存在唯一的Kähler-Einstein度量。
• 分析模空间与Teichmüller空间上典型度量（如Weil-Petersson度量、Ricci度量、修正Ricci度量及Kähler-Einstein度量）的曲率与有界几何性质。

提出的方法

• 利用极化Calabi-Yau度量的Kähler形式在形变下的不变性，建立从Teichmüller空间到Beltrami微分空间的全纯赋值映射。
• 应用丘成桐对Calabi猜想的解，证明周期映射的部分全局横截性，从而实现全局全纯平坦联络的构造。
• 利用Calabi-Yau方程 $ c_n \Omega_p \wedge \overline{\Omega}_p = \omega_p^n $ 关联全纯体积形式与Kähler度量，确保在形变下上同调类不共线性。
• 利用Kodaira-Spencer同构 $ T_p^{1,0}\mathcal{M}_g \cong H^1(X_p, T_{X_p}^{1,0}) $ 与Serre对偶性，关联模空间上的切丛与余切丛。
• 应用Weil-Petersson度量、Ricci度量与修正Ricci度量的曲率估计与渐近分析，建立这些度量的有界几何性质。
• 借助Teichmüller空间的Hodge完备化与Harish-Chandra实现，证明完备化空间与Hodge结构分类空间之间的双全纯同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间到Hodge结构分类空间的周期映射是否全局保持单射？
• RQ2 能否在极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间上构造出全局全纯平坦联络？
• RQ3 极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间是否可全纯嵌入欧几里得空间？
• RQ4 极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间的Hodge完备化是否允许存在唯一的Kähler-Einstein度量？
• RQ5 模空间与Teichmüller空间上Weil-Petersson度量、Ricci度量、修正Ricci度量及Kähler-Einstein度量的曲率与有界几何性质如何？

主要发现

• 极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间满足全局Torelli定理：周期映射是单射，意味着复结构由其Hodge结构唯一确定。
• 极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间具有全局全纯平坦联络，从而在该空间上确立了仿射结构。
• 极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间可全纯嵌入同维数的欧几里得空间，且其Hodge完备化为全纯域。
• 极化Calabi-Yau流形的Teichmüller空间的Hodge完备化上存在唯一的Kähler-Einstein度量。
• 模空间上的Ricci度量与修正Ricci度量天然为负曲率，且具有有界几何，其曲率估计源自Calabi-Yau方程与丘成桐对Calabi猜想的解。
• Weil-Petersson度量为Kähler度量，其全纯截面曲率上有界于仅依赖于亏格的负常数，从而证实了Royden对Ricci曲率负性的猜想。