[论文解读] Recent progresses in the theory of nonlinear nonlocal problems

Sunra Mosconi, Marco Squassina|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 48被引用 6

一句话总结

本文综述了分数阶 $p$-拉普拉斯算子驱动的非线性非局部问题理论的最新进展，重点研究弱解的存在性与正则性。通过变分法建立了多重解结果，并利用截断技巧与Palais-Smale估计，证明了在临界增长条件下非局部Brezis-Nirenberg型问题非平凡解的存在性。

ABSTRACT

We overview some recent existence and regularity results in the theory of nonlocal nonlinear problems driven by the fractional $p$-Laplacian.

研究动机与目标

• 综述分数阶 $p$-Laplacian 驱动的非线性非局部问题在存在性与正则性理论方面的最新进展。
• 分析分数阶 $p$-Laplacian 方程弱解的正则性，包括内部与边界行为。
• 研究临界非局部问题中非平凡解的存在性，特别是Brezis-Nirenberg问题的非局部版本。
• 建立Palais-Smale条件在临界非局部方程中成立的条件，通过能量估计与Aubin-Talenti函数的截断。
• 全面概述非局部非线性算子背景下变分法与非变分法的方法。

提出的方法

• 通过Gagliardo半范数与能量空间 $W^{s,p}_0(\Omega)$ 使用分数阶 $p$-Laplacian 的弱形式化。
• 应用变分法，包括Morse理论与约束最小化，证明多重弱解的存在性。
• 对缩放后的Aubin-Talenti函数使用截断技巧，以估计能量范数并恢复紧致性。
• 利用道路定理与极小极大方法，在临界增长条件下识别能量泛函的临界点。
• 通过控制截断对 $W^{s,p}_0$-半范数与 $L^{p^*}$-范数的影响，建立特定能量水平下的Palais-Smale条件。
• 依赖一个关键技术引理（引理4.9），该引理构造了具有受控能量与 $L^{p^*}$-范数的测试函数，对临界情形下解的存在性证明至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，分数阶 $p$-Laplacian 问题至少存在三个非平凡弱解？
• RQ2 在渐近 $p$-线性非局部问题中，当 $\lambda \notin \sigma_{FR}(\Omega)$ 时，至少存在两个非零解（一个非负，一个非正）的条件是什么？
• RQ3 非局部Brezis-Nirenberg问题在临界增长下存在非平凡解的必要与充分条件是什么？
• RQ4 尽管Palais-Smale条件不成立，如何在临界情形下恢复能量泛函的紧致性？
• RQ5 分数阶Sobolev不等式极小化器的最优衰减速率是什么？其与通过Pohǒzaev恒等式得到的非存在性结果有何关联？

主要发现

• 在假设 $\mathbf{H}_2$ 与适当的控制条件 $\eqref{RC}$ 下，问题 $(-\Delta_p)^s u = f(x,u)$ 在 $\Omega$ 中，$u=0$ 在 $\partial\Omega$ 上，至少存在三个非零弱解。
• 在渐近 $p$-线性情形下，当 $\lambda \notin \sigma_{FR}(\Omega)$ 时，问题至少存在一个非零弱解。
• 当 $\lambda \in \sigma_{FR}(\Omega)$ 且 $\partial\Omega$ 为 $C^{1,1}$-光滑时，若 $\frac{N^2}{N+s} > p^2s$ 或 $\frac{N^3 + p^3 s^3}{N(N+s)} > p^2 s$，则存在非平凡解。
• 对于非局部Brezis-Nirenberg问题，若 $\lambda \notin \sigma_{FR}$ 且 $N > p^2 s$，或 $\lambda \in \sigma_{FR}$ 且对 $N$、$p$、$s$ 满足几何与增长条件，则存在非平凡弱解。
• 引理4.9 构造了一个非负函数 $u_{\varepsilon,\delta} \in W^{s,p}_0(B_\delta)$，使得 $[u_{\varepsilon,\delta}]^p \leq \mathbb{S}^{N/(ps)} + C(\varepsilon/\delta)^{(N-ps)/(p-1)}$ 且 $\|u_{\varepsilon,\delta}\|_{p^*}^{p^*} \geq \mathbb{S}^{N/(ps)} - C(\varepsilon/\delta)^{N/(p-1)}$，其中 $C = C(N,p,s)$。
• 此类测试函数的构造使得在临界能量水平下能够恢复紧致性，从而在临界非线性存在时仍可应用极小极大方法。