[论文解读] Recognisable languages over monads

Mikołaj Bojańczyk|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2015

semigroups and automata theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文引入了单子作为代数语言理论的统一框架，将语法同态、伪簇和单子二阶逻辑等概念推广至任意单子。它建立了在亚有限单子上的可识别语言与在扩展的MSO逻辑中可定义的语言之间的对应关系，并证明了该逻辑在亚有限词上的可满足性问题是不可判定的。

ABSTRACT

The principle behind algebraic language theory for various kinds of structures, such as words or trees, is to use a compositional function from the structures into a finite set. To talk about compositionality, one needs some way of composing structures into bigger structures. It so happens that category theory has an abstract concept for this, namely a monad. The goal of this paper is to propose monads as a unifying framework for discussing existing algebras and designing new algebras.

研究动机与目标

• 使用范畴论中的单子概念，统一不同结构（如词、树、森林）上的代数语言理论。
• 将经典结果（如Myhill-Nerode定理、Eilenberg的伪簇定理，以及正则语言与单子二阶逻辑之间的联系）推广至任意单子的设定。
• 通过构建单子的亚有限扩张来建模无限和极限结构，从而在拓扑设定下研究可识别语言。
• 研究在亚有限单子上可识别语言的逻辑表征，特别是通过单子二阶逻辑的扩展。
• 确定在亚有限词上，扩展的MSO逻辑的可满足性问题是否可判定。

提出的方法

• 通过有限词、无限词和树等例子，形式化单子及其代数，以抽象地表示语言结构中的复合性。
• 在单子框架内引入语法同态和伪簇的概念，证明了经典定理的类比结果，如语法同态定理和语法伪簇定理。
• 通过Stone对偶性和一致连续性定义亚有限单子，构造自由代数的拓扑完备化，以建模有限结构的极限。
• 建立亚有限代数与Stone拓扑中闭开语言之间的对应关系，连接代数性质与拓扑性质。
• 通过引入如“无限多个1”和“某个a出现在某个b之前”等基本谓词，将单子二阶逻辑扩展至亚有限单子，形成逻辑mso+inf。
• 通过从已知不可判定性结果（如[MB15]和[Tor12]）的约化，证明mso+inf在亚有限词上的可满足性问题是不可判定的。

实验结果

研究问题

• RQ1 单子如何作为统一框架，用于统一不同结构（如词、树和森林）上的代数语言理论？
• RQ2 Myhill-Nerode定理和Eilenberg的伪簇定理等经典结果在单子理论中的类比形式是什么？
• RQ3 如何构造亚有限单子以建模有限结构的无限和极限行为？它们具有哪些拓扑性质？
• RQ4 在亚有限单子上，哪些语言是可识别的？它们与扩展的单子二阶逻辑中的可定义性有何关系？
• RQ5 在亚有限词上，扩展了无界性和前缀谓词的单子二阶逻辑的可满足性问题是否可判定？

主要发现

• 本文证明了在亚有限单子上，可识别语言恰好对应于在mso+inf逻辑中可定义的语言，该逻辑在MSO基础上扩展了无界性和相对顺序的谓词。
• 通过从无限词上mso+u的不可判定性约化，证明了mso+inf在亚有限词上的可满足性问题是不可判定的。
• 语法同态定理被推广至单子，表明每个可识别语言都可唯一映射到单子上的有限代数。
• 亚有限单子的构造为任意T-代数提供了Stone对偶，从而在亚有限拓扑中定义了闭开语言和一致连续性。
• 逻辑mso+inf仅捕捉${\bar{+}}$-可识别语言，尽管尚不清楚它是否捕捉所有此类语言。
• 证明了亚有限同态${\mathrm{mul}_{\bf A}}: A^{\bar{+}} \to A$是${\bar{+}}$-同态，确认其在亚有限设定下与单子公理的一致性。