[论文解读] Reconstruction of Randomly Sampled Sparse Signals Using an Adaptive Gradient Algorithm

Ljubiša Stanković, Miloš Daković|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种自适应梯度算法，通过将缺失样本视为时域中的优化变量，从随机采样的缺失数据中重建稀疏信号。该方法引入了一种基于梯度方向的新型参数自适应准则，显著提高了计算效率，并提供了一个定理以验证给定一组缺失样本时重建信号的唯一性，统计示例验证了其高SRR（111.08 dB）。

ABSTRACT

Sparse signals can be recovered from a reduced set of samples by using compressive sensing algorithms. In common methods the signal is recovered in the sparse domain. A method for the reconstruction of sparse signal which reconstructs the remaining missing samples/measurements is recently proposed. The available samples are fixed, while the missing samples are considered as minimization variables. Recovery of missing samples/measurements is done using an adaptive gradient-based algorithm in the time domain. A new criterion for the parameter adaptation in this algorithm, based on the gradient direction angles, is proposed. It improves the algorithm computational efficiency. A theorem for the uniqueness of the recovered signal for given set of missing samples (reconstruction variables) is presented. The case when available samples are a random subset of a uniformly or nonuniformly sampled signal is considered in this paper. A recalculation procedure is used to reconstruct the nonuniformly sampled signal. The methods are illustrated on statistical examples.

研究动机与目标

• 解决由于物理限制或数据损坏导致采样缺失时，稀疏信号重建的挑战，而非有意的压缩感知。
• 开发一种计算高效的时域方法，用于恢复缺失的信号样本，而非在稀疏变换域中进行。
• 提出一种基于梯度方向角的新型自适应参数控制准则，以加速梯度算法的收敛速度。
• 为给定一组缺失样本时重建信号的唯一性建立理论条件。
• 通过在重建前应用信号重计算过程，将该方法扩展至非均匀采样信号。

提出的方法

• 将信号重建建模为优化问题，其中缺失样本为变量，可用样本为固定约束。
• 使用基于梯度的迭代算法，通过调整时域中缺失样本的取值，最小化变换系数的ℓ₀-范数。
• 提出一种基于连续梯度向量之间夹角的新型自适应步长规则，以提升收敛速度。
• 在重建前，应用采样定理从非均匀采样数据中重新计算信号在均匀采样瞬时的取值。
• 采用基于索引集二进制划分中缺失样本计数的定理，判断给定一组缺失样本时是否存在唯一解。
• 通过统计示例验证该方法，并计算信噪比（SRR）以评估精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用基于时域优化和自适应梯度步长的方法高效重建稀疏信号中的缺失样本？
• RQ2 与先前方法相比，基于梯度方向的参数自适应准则如何提升重建算法的收敛速度？
• RQ3 在给定一组缺失样本时，重建的稀疏信号在何种条件下具有唯一性？
• RQ4 该方法能否通过先应用采样定理进行重计算，有效重建非均匀采样下的稀疏信号？
• RQ5 所提出的唯一性定理是否能正确识别出即使ℓ₁-最小化失败，仍可能存在唯一解的情况？

主要发现

• 所提出的基于梯度方向的参数自适应方法相比先前工作中原始准则，显著降低了计算时间。
• 重建结果的信噪比（SRR）达到111.08 dB，表明具有高精度和高保真度。
• 唯一性定理正确识别出：当缺失样本为112个时，仅当信号稀疏度小于4时才存在唯一解，除非特定信号结构允许唯一性。
• 对于稀疏度s=6且缺失112个样本的特定信号，算法成功重建出唯一信号，该结果经定理验证。
• 该方法通过先将非均匀采样信号重计算至均匀采样位置，成功处理了非均匀采样信号，实现了有效重建。
• 该算法能够识别出ℓ₀-最小化可获得唯一解但ℓ₁-最小化失败的情况，凸显了唯一性定理的重要性。