[论文解读] Reconstruction of signals from their autocorrelation and cross-correlation vectors, with applications to phase retrieval and blind channel estimation

Kishore Jaganathan, Babak Hassibi|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文提出一种基于半定规划（SDP）的方法，从自相关与互相关向量中重建两个信号，解决了相位恢复与盲信道估计问题。该方法通过提升技术实现凸松弛，实现了在全局相位意义下的稳定且唯一的信号恢复，在噪声环境下显著优于经典的西尔维斯特矩阵方法。

ABSTRACT

We consider the problem of reconstructing two signals from the autocorrelation and cross-correlation measurements. This inverse problem is a fundamental one in signal processing, and arises in many applications, including phase retrieval and blind channel estimation. In a typical phase retrieval setup, only the autocorrelation measurements are obtainable. We show that, when the measurements are obtained using three simple "masks", phase retrieval reduces to the aforementioned reconstruction problem. The classic solution to this problem is based on finding common factors between the $z$-transforms of the autocorrelation and cross-correlation vectors. This solution has enjoyed limited practical success, mainly due to the fact that it is not sufficiently stable in the noisy setting. In this work, inspired by the success of convex programming in provably and stably solving various quadratic constrained problems, we develop a semidefinite programming-based algorithm and provide theoretical guarantees. In particular, we show that almost all signals can be uniquely recovered by this algorithm (up to a global phase). Comparative numerical studies demonstrate that the proposed method significantly outperforms the classic method in the noisy setting.

研究动机与目标

• 解决在相位恢复与盲信道估计中出现的根本性逆问题：从自相关与互相关测量值中重建信号。
• 通过引入凸优化框架，克服经典多项式求根方法（如西尔维斯特矩阵）在噪声环境下的不稳定性。
• 在无噪声情况下，为信号在全局相位意义下的唯一恢复提供理论保证。
• 通过凸约束引入额外测量（如相位恢复中的多掩模），增强鲁棒性。
• 在加性噪声条件下，通过数值实验展示SDP方法在稳定性与重建精度方面显著优于经典方法。

提出的方法

• 利用标准提升技术将信号向量转化为秩一的正定矩阵，将重建问题建模为半定规划（SDP）问题。
• 采用测量模型：在提升矩阵为正定的约束下，最小化观测值与预测值之间自相关与互相关向量的平方误差。
• 将优化问题定义为：最小化 ∑|trace(AₘX) − bₘ|²，约束条件为 X ≽ 0，其中 bₘ 为含噪声的测量值。
• 利用真实信号对应于秩一矩阵的特性，实际中通过核范数松弛或迹正则化实现恢复。
• 将额外测量（如相位恢复中的多掩模）作为SDP中的附加仿射约束，提升稳定性。
• 在目标函数中采用 ℓ₂-范数最小化以建模加性白高斯噪声，也可选择 ℓ₁-范数以处理稀疏噪声。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸优化框架是否能在噪声环境下实现自相关与互相关向量的稳定且唯一的信号重建？
• RQ2 在噪声环境中，所提出的SDP方法相较于经典西尔维斯特矩阵方法的性能如何？
• RQ3 在SDP框架中，额外测量（如相位恢复中的多掩模）在多大程度上能提升重建稳定性？
• RQ4 在无噪声条件下，何时能保证信号在全局相位意义下的唯一恢复？
• RQ5 SDP框架是否能自然地整合超出自相关与互相关向量最小集合的附加约束或测量？

主要发现

• 在数值仿真中，所提出的SDP方法在所有信噪比（SNR）水平下，其归一化均方误差（NMSE）显著低于经典西尔维斯特矩阵方法。
• 在无噪声情况下，SDP公式能几乎唯一地恢复所有信号（至全局相位），并提供了理论保证。
• SDP方法在噪声环境下表现出稳定性能，NMSE在对数尺度下随SNR增加近似呈线性下降。
• 仿真结果表明，引入额外测量（如相位恢复中使用三个掩模）可进一步提升重建稳定性，表现为NMSE降低。
• 与经典方法无法利用此类数据不同，SDP框架通过额外仿射约束自然地容纳了额外测量。
• 即使互相关向量由三个自相关测量值推导得出（如在相位恢复中），该方法仍保持鲁棒性，且噪声方差可相应建模。