[论文解读] Recovering piecewise constant refractive indices by a single far-field pattern

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文首次建立了在声学散射中仅从单一远场图样恢复分段常数折射率的唯一性结果。通过利用角散射和唯一延拓原理，证明了多面体支撑顶点处折射率的取值被唯一确定，从而在已知几何结构（例如多面体嵌套结构或像素/体素网格）时可实现完全恢复。

ABSTRACT

We are concerned with the inverse scattering problem of recovering an inhomogeneous medium by the associated acoustic wave measurement. We prove that under certain assumptions, a single far-field pattern determines the values of a perturbation to the refractive index on the corners of its support. These assumptions are satisfied for example in the low acoustic frequency regime. As a consequence if the perturbation is piecewise constant with either a polyhedral nest geometry or a known polyhedral cell geometry, such as a pixel or voxel array, we establish the injectivity of the perturbation to far-field map given a fixed incident wave. This is the first unique determinancy result of its type in the literature, and all of the existing results essentially make use of infinitely many measurements.

研究动机与目标

• 解决从最少测量数据（具体为单一远场图样）恢复非均匀介质的逆散射问题。
• 在支撑具有多面体几何结构或已知网格结构（如像素/体负阵列）时，建立分段常数折射率恢复的唯一性。
• 通过证明单一样本下的单射性，克服先前结果依赖无限多远场图样的局限性。
• 证明在特定条件下，折射率在支撑顶点处的取值可由单一远场图样唯一确定。

提出的方法

• 使用带扰动折射率 $ V $ 的Helmholtz方程，建模 $ bR^n $（$ n=2,3 $）中的声波散射。
• 应用Sommerfeld辐射条件定义远场图样 $ A_{u^i} $，即逆散射中的可测量量。
• 利用唯一延拓和Rellich定理，证明扰动支撑外部的总波场 $ u $ 和 $ u' $ 一致。
• 应用Holmgren唯一性定理，将波场等值性传播至区域的连通分支。
• 分析多面体支撑顶点处的波场行为，表明顶点处波场非零值意味着折射率取值相等。
• 对嵌套或基于单元的多面体几何结构使用归纳法，逐步证明所有分量间折射率取值相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅从单一远场图样而非无限多远场图样唯一恢复折射率？
• RQ2 对折射率支撑的几何结构有何假设，可实现最小数据下的唯一恢复？
• RQ3 折射率在支撑顶点处的取值是否足以实现完整重构？
• RQ4 是否可能仅使用一个入射波及其远场图样，恢复多面体或网格状结构中的分段常数折射率？
• RQ5 角散射和波场在顶点处的行为如何促进逆问题的唯一性？

主要发现

• 在适当假设下，折射率在支撑顶点处的取值可由单一远场图样唯一确定。
• 对于具有多面体嵌套结构或已知多面体单元结构（如像素/体素）的分段常数折射率，单个入射波下扰动到远场图样的映射是单射的。
• 该结果在低频区域成立，并可推广至具有连通补集的一般多面体支撑。
• 证明依赖于唯一延拓、Rellich定理和Holmgren唯一性定理，以实现波场等值性在域间的传播。
• 通过在嵌套或基于单元的多面体结构的各层上使用归纳法，建立单射性，证明每一层上折射率取值相等。
• 这是文献中首次实现仅使用单一远场图样即达到单射性的唯一性结果，突破了以往依赖无限多测量的局限。