[论文解读] Recurrence, pointwise almost periodicity and orbit closure relation for flows and foliations

Tomoo Yokoyama|arXiv (Cornell University)|May 16, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文为紧致连通曲面上连续流以及紧致流形上余维一叶状结构，建立了遍历性、逐点渐近周期性及轨道闭包关系（R-闭性）的等价刻画。对于曲面上的向量场，逐点遍历性、逐点渐近周期性与极小性或逐点周期性等价；对于正则向量场，这些性质又等价于轨道闭包关系R为闭关系。对于余维一叶状结构，逐点渐近周期性、极小性或紧致性与R-闭性等价。

ABSTRACT

In this paper, we obtain a characterizations of the recurrence of a continuous vector field $w$ of a closed connected surface $M$ as follows. The following are equivalent: 1) $w$ is pointwise recurrent. 2)$w$ is pointwise almost periodic. 3) $w$ is minimal or pointwise periodic. Moreover, if $w$ is regular, then the following are equivalent: 1) $w$ is pointwise recurrent. 2)$w$ is minimal or the orbit space $M/w$ is either $[0,1]$, or $S^1$. 3) $R$ is closed (where $R := \{(x,y) \in M imes M \mid y \in \bar{O(x)} \}$ is the orbit closure relation). On the other hand, we show that the following are equivalent for a codimension one foliation $\mathcal{F}$ on a compact manifold: 1) $\mathcal{F}$ is pointwise almost periodic. 2) $\mathcal{F}$ is minimal or compact. 3) $\mathcal{F}$ is $R$-closed. Also we show that if a foliated space on a compact metrizable space is either minimal or is both compact and without infinite holonomy, then it is $R$-closed.

研究动机与目标

• 刻画紧致连通曲面上连续流的遍历性与渐近周期性。
• 确定曲面上正则向量场的轨道闭包关系R在何种条件下为闭关系。
• 将上述等价关系推广至紧致流形上的余维一叶状结构。
• 研究叶状空间中极小性、紧致性与R-闭性之间的关系。
• 澄清逐点渐近周期性蕴含R-闭性的条件，反之亦然。

提出的方法

• 使用轨道闭包关系R = {(x,y) ∈ M×M | y ∈ cl(O(x))} 分析拓扑动力系统。
• 应用拓扑工具，如网收敛、关系闭性及商空间性质。
• 利用在紧致豪斯多夫空间下，逐点渐近周期性与轨道闭包关系闭性的等价性。
• 构造反例以说明一般情况下R-闭性不蕴含逐点渐近周期性。
• 利用紧致度量空间上的动力系统（包括无理旋转与符号动力系统）检验边界情形。
• 通过分解理论与等价关系分析叶状结构，识别R为闭关系的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致连通曲面上的连续向量场，逐点遍历性与逐点渐近周期性是否等价？
• RQ2 在何种条件下，曲面上正则向量场的轨道闭包关系R为闭关系？
• RQ3 对于紧致流形上的余维一叶状结构，何时逐点渐近周期性等价于极小性或紧致性？
• RQ4 对于叶状结构，R-闭性是否与逐点渐近周期性等价？
• RQ5 是否存在逐点周期流是R-闭的但非周期流的情况？

主要发现

• 对于紧致连通曲面上的连续向量场w，w是逐点遍历的当且仅当它是逐点渐近周期的，且当且仅当它是极小的或逐点周期的。
• 若w为正则向量场，则逐点遍历性等价于w是极小的，或轨道空间M/w同胚于[0,1]或S¹。
• 对于正则向量场，轨道闭包关系R为闭的当且仅当w是逐点遍历的。
• 对于紧致连通流形上的余维一叶状结构F，F是逐点渐近周期的当且仅当它是极小的或紧致的。
• 对于此类叶状结构，逐点渐近周期性等价于F是R-闭的。
• 若紧致度量空间上的叶状空间是极小的，或同时是紧致的且无无穷Holonomy，则它是R-闭的。