[论文解读] Reduced free products of unital AH algebras and Blackadar and Kirchberg's MF algebras

Don Hadwin, Jiankui Li+2 more|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 7

一句话总结

该论文证明了在忠实迹态下，单位AH代数的约化自由积是MF代数，推广了Haagerup与Thorbjørnsen关于$C_r^*(F_2)$的结果。在满足Avitzour关于迹为零的酉元的条件时，此类自由积的BDF扩张半群不是群，从而给出了一个包含大量非拟对角C*-代数的类，其扩张半群也不是群。

ABSTRACT

In the paper, we prove that reduced free products of unital AH algebras with respect to given faithful tracial states, in the sense of Voiculescu, are Blackadar and Kirhcberg's MF algebras. We also show that the reduced free products of unital AH algebras with respect to given faithful tracial states, under mild conditions, are not quasidiagonal. Therefore we conclude, for a large class of AH algebras, the Brown-Douglas-Fillmore extension semigroups of the reduced free products of these AH algebras with respect to given faithful tracial states are not groups. Our result is based on Haagerup and Thorbjørsen's work on the reduced C$^*$-algebras of free groups.

研究动机与目标

• 将Haagerup与Thorbjørnsen关于$Ext(C_r^*(F_2))$不是群的结果推广到更广泛的C*-代数类。
• 研究在忠实迹态下，单位AH代数的约化自由积何时为MF代数。
• 确定此类自由积的BDF扩张半群何时不是群。
• 通过自由积构造深化对非拟对角C*-代数的理解。

提出的方法

• 使用Voiculescu的单位C*-代数与忠实迹态下的约化自由积构造。
• 以Haagerup与Thorbjørnsen关于$C_r^*(F_2)$的结果为模型，利用其嵌入到矩阵代数的超乘积的性质。
• 在Avitzour条件下，证明单位AH代数在忠实迹态下的约化自由积是MF代数。
• 通过矩阵代数上的群作用，构造C*-代数到自由积代数的交叉积的嵌入。
• 利用如下事实：若C*-代数是MF代数但不是拟对角的，则其BDF扩张半群不是群。
• 利用MF性质在最小张量积及与$C_r^*(F_n)$的自由积下的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，单位AH代数在忠实迹态下的约化自由积是MF代数？
• RQ2 在何种条件下，此类自由积的BDF扩张半群不是群？
• RQ3 Avitzour关于迹为零的酉元的条件能否用于确保自由积的非拟对角性？
• RQ4 MF性质在涉及$C_r^*(F_n)$与单位AH代数的自由积下是否保持？
• RQ5 能否利用约化自由积的结构构造出新的非拟对角C*-代数例子，其BDF半群不是群？

主要发现

• 在忠实迹态下，单位AH代数的约化自由积是MF代数。
• 若满足Avitzour的条件——即每个代数中存在迹为零的酉元——则该自由积的BDF扩张半群不是群。
• 在相同条件下，自由积不是拟对角的，这意味着即使它是MF代数，也不是拟对角的。
• 该构造推广了Haagerup与Thorbjørnsen的结果：$Ext(C_r^*(F_2))$不是群。
• $C_r^*(F_n)$与具有忠实迹态的单位AH代数的自由积是MF代数。
• 对于具有忠实迹态的单位AF代数$\mathcal{B}_i$，自由积$\big((\mathcal{A} \otimes_{\min} \mathcal{B}_0, \psi \otimes_{\min} \phi_0) *_{\text{red}} \cdots *_{\text{red}} (\mathcal{A} \otimes_{\min} \mathcal{B}_n, \psi \otimes_{\min} \phi_n)\big)$是MF代数。