[论文解读] Reducing Graph Transversals via Edge Contractions

Paloma T. Lima, Vinícius F. dos Santos+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用 2

一句话总结

本文研究通过边收缩减少图的顶点覆盖、反馈顶点集和奇圈剔除集等图截集的参数复杂性。研究证明，即使对于较小的参数值，反馈顶点集和奇圈剔除集的若干截集问题仍为 co-NP-难；而顶点覆盖的缩减问题属于 XP 类，且可在 FPT 时间内实现 2-近似，凸显了不同不变量之间可解性的显著差异。

ABSTRACT

For a graph parameter π, the Contraction(π) problem consists in, given a graph G and two positive integers k,d, deciding whether one can contract at most k edges of G to obtain a graph in which π has dropped by at least d. Galby et al. [ISAAC 2019, MFCS 2019] recently studied the case where π is the size of a minimum dominating set. We focus on graph parameters defined as the minimum size of a vertex set that hits all the occurrences of graphs in a collection ℋ according to a fixed containment relation. We prove co-NP-hardness results under some assumptions on the graphs in ℋ, which in particular imply that Contraction(π) is co-NP-hard even for fixed k = d = 1 when π is the size of a minimum feedback vertex set or an odd cycle transversal. In sharp contrast, we show that when π is the size of a minimum vertex cover, the problem is in XP parameterized by d.

研究动机与目标

• 研究通过边收缩减少图截集（如顶点覆盖、反馈顶点集、奇圈剔除集）的参数复杂性。
• 确定当图不变量 π 取决于何种条件时，Contraction(π) 问题具有可解性或不可解性。
• 识别在固定小值 k 和 d 下，问题为何会变为 co-NP-难的条件。
• 探讨当 π 为最小顶点覆盖大小时，该问题的参数化可解性，尤其关注参数 d 的影响。

提出的方法

• 作者分析 Contraction(π) 问题，其中 π 是图族 H 在某种包含关系下的最小截集大小。
• 在 H 满足特定结构假设（如包含非团的 2-连通图或长度 ≥4 的路径）时，证明其为 co-NP-难。
• 针对顶点覆盖，设计一个以 d 为参数的 XP 算法，通过在收缩图中搜索小 hitting 集实现。
• 当顶点覆盖数较小时，通过在修改后的图中猜测小顶点覆盖来求解，利用二分图结构特性。
• 采用 2-近似策略，通过限制候选收缩数量避免完整枚举。
• 应用 Courcelle 定理及已知的关于树宽和二分图修改的 FPT 算法，推导出参数化可解性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 π 为最小反馈顶点集或奇圈剔除集大小时，即使 k = d = 1，Contraction(π) 问题是否仍为 co-NP-难？
• RQ2 在何种 H 的条件下，Contraction(τ≺H) 问题为 co-NP-难？
• RQ3 Contraction(vc) 问题是否可在以 d 为参数的 FPT 时间内求解，或其为 W[1]-难？
• RQ4 是否存在以 d 为参数的 Contraction(vc) 参数化近似方案，其近似比是多少？
• RQ5 当 H 包含平面图时，图的树宽与参数 τ≺H(G) 之间有何关系？

主要发现

• 当 π 为最小反馈顶点集或奇圈剔除集大小时，Contraction(π) 问题即使在 k = d = 1 时仍为 co-NP-难。
• 当 H 包含一个 2-连通非团图或至少四条边的路径时，无论何种包含关系，Contraction(τ≺H) 问题均为 co-NP-难。
• 对于顶点覆盖，该问题在参数 d 下属于 XP 类，其算法时间复杂度为 2^O(d) · n^O(1)。
• Min-Contraction(vc) 问题存在一个 2-近似算法，且可在以 d 为参数的 FPT 时间内求解。
• 当 H 包含一个平面图且 ≺ 为子图关系时，该问题在参数 τ≺H(G) + k 下为 FPT。
• 当 H = {P3}，H = {Kh}（h ≥3）在子图/诱导子图关系下，以及对任意树时，问题仍为开放问题。