[论文解读] Reduction and submanifolds of generalized complex manifolds

Izu Vaisman|ArXiv.org|Nov 1, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过利用泊松几何与狄拉克结构，将马斯登-拉蒂乌和马斯登-韦恩斯坦型的几何约化定理推广至微分流形上的广义复、伪复与次切结构。它通过经典张量场刻画了继承诱导广义结构的子流形，表明具有相容不变法丛的泊松-狄拉克子流形可产生可积的诱导结构。

ABSTRACT

We recall the presentation of the generalized, complex structures by classical tensor fields, while noticing that one has a similar presentation and the same integrability conditions for generalized, paracomplex and subtangent structures. This presentation shows that the generalized, complex, paracomplex and subtangent structures belong to the realm of Poisson geometry. Then, we prove geometric reduction theorems of Marsden-Ratiu and Marsden-Weinstein type for the mentioned generalized structures and give the characterization of the submanifolds that inherit an induced structure via the corresponding classical tensor fields.

研究动机与目标

• 通过泊松几何将马斯登-拉蒂乌与马斯登-韦恩斯坦约化定理推广至广义复、伪复与次切结构。
• 刻画从周围流形继承诱导广义结构的子流形。
• 阐明泊松-狄拉克子流形与不变法丛在诱导结构可积性中的作用。
• 通过经典张量场与考兰特括号统一处理广义复、伪复与次切结构。
• 建立一个理解诱导广义结构的框架，基于希钦对与尼坚纽斯张量。

提出的方法

• 通过经典张量场（包括泊松二阶张量与尼坚纽斯张量）表示广义复、伪复与次切结构。
• 利用广义切丛 $ T^{\text{big}}M = TM \oplus T^*M $ 上的考兰特括号定义可积性条件。
• 通过子流形与控制向量丛应用马斯登-拉蒂乌约化框架，构造约化后的广义结构。
• 当控制丛源自哈密顿作用时，将马斯登-韦恩斯坦约化作为特例应用。
• 通过狄拉克特征丛的拉回与周围结构的考兰特-尼坚纽斯挠率相容性，刻画子流形上的诱导结构。
• 确立诱导结构的可积性源于周围结构的可积性，以及子流形为泊松-狄拉克且不变的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将马斯登-拉蒂乌与马斯登-韦恩斯坦约化定理推广至广义复、伪复与次切结构？
• RQ2 广义复流形的哪些子流形能继承一个良好定义的诱导广义结构？
• RQ3 何种条件可确保子流形上诱导结构的可积性？
• RQ4 泊松-狄拉克子流形与不变法丛如何与诱导广义结构的存在性及可积性相关联？
• RQ5 能否通过诱导张量场自然地将泊松-尼坚纽斯子流形的概念扩展至广义结构？

主要发现

• 广义复、复、伪复与次切结构在经典张量场与泊松几何的基础上被统一于同一框架下。
• 马斯登-拉蒂乌约化定理被推广至这些结构，若原结构与子流形满足适当条件，则约化结构继承可积性。
• 当控制丛源自哈密顿作用时，马斯登-韦恩斯坦约化作为特例被恢复。
• 能继承诱导广义结构的子流形必须是泊松-狄拉克子流形，且若周围结构可积且子流形不变，则诱导结构可积。
• 对于非退化的广义复-伪复-次切（c.p.s.）结构，若子流形是其底层泊松结构的辛子流形，则诱导结构可积。
• 在泊松-狄拉克且不变的子流形上，诱导广义结构可积，且诱导的泊松-尼坚纽斯层级与周围层级相容。