[论文解读] Reductions of triangulated categories and simple-minded collections

Haibo Jin|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于预-简单-minded族（pre-SMCs）的三角范畴的新约化过程，构造了一个新的三角范畴 U，使得 U 中的 SMC 与原始范畴 T 中包含 pre-SMC R 的 SMC 之间存在双射关系。关键结果通过 Verdier 商在子范畴 Z 上建立了自然的三角结构，推广了 silting 约化对偶性，并将 Buchweitz 定理推广至 SMC 四元组的设定。

ABSTRACT

Silting and Calabi-Yau reductions are important process in representation theory to construct new triangulated categories from given one, which are similar to Verdier quotient. In this paper, first we introduce a new reduction process of triangulated category, which is analogous to the silting (Calabi-Yau) reduction. For a triangulated category $\cal T$ with a pre-simple-minded collection (=pre-SMC) $\cal R$, we construct a new triangulated category $\cal U$ such that the SMCs in $\cal U$ bijectively correspond to those in $\cal T$ containing $\cal R$. Secondly, we give an analogue of Buchweitz's theorem for the singularity category $\cal T_{ m sg}$ of a SMC quadruple $(\cal T,\cal T^{ m p},\mathbb S, \cal S)$: the category $\cal T_{ m sg}$ can be realized as the stable category of an extriangulated subcategory $\cal F$ of $\cal T$. Finally, we show the SMS (simple-minded system) reduction due to Coelho Simões and Pauksztello is the shadow of our SMC reduction. This is parallel to the result that Calabi-Yau reduction is the shadow of silting reduction due to Iyama and Yang.

研究动机与目标

• 提出一种基于 pre-SMCs 的三角范畴新约化过程，类似于 silting 和 Calabi-Yau 约化。
• 在原始范畴 T 中包含 pre-SMC R 的 SMC 与约化范畴 U 中的 SMC 之间建立双射关系。
• 将 Buchweitz 关于奇点范畴与 Cohen-Macaulay 模的稳定范畴之间等价性的结果推广至 SMC 四元组的设定。
• 表明 Coelho Simões 与 Pauksztello 定义的 SMS 约化是所提出的 SMC 约化的“影子”，类似于 silting 与 Calabi-Yau 约化之间的对偶关系。

提出的方法

• 将 SMC 约化定义为 Verdier 商 U = T / thick(R)，其中 R 是 Krull-Schmidt 三角范畴 T 中的一个 pre-SMC。
• 在 T 内构造子范畴 Z = R[≥0]⊥ ∩ ⊥R[≤0]，并在条件 (R1) 与 (R2) 下证明其为三角范畴，且与 U 同构。
• 引入一个 SMC 四元组 (T, T^p, S, S)，其中 T^p 是一个厚子范畴，S 是一个 SMC，且 S 通过相对 Serre 算子 S 满足相对 Serre 对偶性。
• 将奇点范畴定义为 T_sg = T / T^p，并构造一个子范畴 F ⊆ T，使其为外三角范畴且在相对 Serre 算子下稳定。
• 利用导出 Schur 函子与伴随对，诱导出导出范畴及其商范畴之间的三角等价，证明诱导函子的全忠实性与本质稠密性。
• 建立 Coelho Simões 与 Pauksztello 的 SMS 约化作为 SMC 约化的“影子”，类比于 silting 与 Calabi-Yau 约化之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于 pre-SMCs 定义一种类似于 silting 与 Calabi-Yau 约化的三角范畴新约化过程？
• RQ2 在什么条件下，子范畴 Z = R[≥0]⊥ ∩ ⊥R[≤0] 能够从 Verdier 商 U = T / thick(R) 中继承三角结构？
• RQ3 Buchweitz 关于奇点范畴与 Cohen-Macaulay 模的稳定范畴之间等价性的结果能否推广至 SMC 四元组？
• RQ4 是否存在类似于 silting 与 Calabi-Yau 约化之间对偶性的 SMC 约化与 SMS 约化之间的对偶关系？

主要发现

• T 中的子范畴 Z = R[≥0]⊥ ∩ ⊥R[≤0] 是三角范畴，且与 Verdier 商 U = T / thick(R) 同构，从而在 Z 上建立了自然的三角结构。
• T 中包含 R 的 SMC 与 U 中的 SMC 之间存在双射关系，表明该约化过程保持了 SMC 的分类结构。
• SMC 四元组的奇点范畴 T_sg = T / T^p 与 T 的一个外三角子范畴 F 的稳定范畴三角同构，推广了 Buchweitz 定理。
• Coelho Simões 与 Pauksztello 的 SMS 约化被实现为 SMC 约化的“影子”，证实了其与 silting 与 Calabi-Yau 约化之间对偶性的类比关系。
• 导出 Schur 函子诱导出导出范畴之间的全忠实且稠密的函子，从而支持了商范畴之间三角等价的构造。
• 该结果被应用于 Gorenstein dg 代数，表明 SMC 约化在构造 SMC 及证明如 [J, 定理 7.1] 等结果中起着关键作用。