[论文解读] Redundant blow-ups and Cox rings of rational surfaces

DongSeon Hwang, Jinhyung Park|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文引入了有理曲面的冗余爆破，证明了在该操作下，Cox 环的有限生成性得以保持。它构造了新的有理曲面族，其反 canonical Iitaka 维数为 0 和 $-\infty$，Picard 数任意大，且 Cox 环有限生成；同时还构造了反 canonical 除子为大除子但并非具有有理奇点的 del Pezzo 曲面的最小解析的有理曲面。

ABSTRACT

We introduce the notion of redundant blow-ups of rational surfaces based on Sakai's work, and show that having a finitely generated Cox ring is invariant under the redundant blow-up. As an application, we discuss the birational structure of rational surfaces with finitely generated Cox rings. In particular, we construct series of new examples of rational surfaces with anticanonical Iitaka dimension 0 and $-\infty$ of arbitrarily large Picard number whose Cox rings are finitely generated. This method is also applied to construct rational surfaces with big anticanonical divisor that are not minimal resolutions of del Pezzo surfaces containing at worst rational singularities.

研究动机与目标

• 基于 Sakai 的框架，定义并研究有理曲面的冗余爆破。
• 研究 Cox 环的有限生成性在冗余爆破下的不变性。
• 探索具有有限生成 Cox 环的有理曲面的双有理结构。
• 构造具有反 canonical Iitaka 维数 0 和 $-\infty$ 且 Picard 数任意大之有理曲面的新族。
• 构造具有大反 canonical 除子但并非具有有理奇点的 del Pezzo 曲面的最小解析的有理曲面。

提出的方法

• 将冗余爆破的概念引入为有理曲面上标准爆破的推广。
• 应用 Sakai 的框架，定义并分析 Cox 环在冗余爆破下的行为。
• 利用 Cox 环在冗余爆破下有限生成性的不变性，构造新的曲面族。
• 运用双有理几何技术分析所构造曲面的反 canonical Iitaka 维数和 Picard 数。
• 通过在已知曲面类上应用冗余爆破，构造具有大反 canonical 除子的曲面。
• 分析所得曲面的奇点和双有理性质，以确认其并非具有至多有理奇点的 del Pezzo 曲面的最小解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理曲面的冗余爆破下，Cox 环的有限生成性是否保持不变？
• RQ2 能否利用冗余爆破构造出具有反 canonical Iitaka 维数 0 和 $-\infty$ 且 Picard 数任意大之有理曲面？
• RQ3 是否存在具有大反 canonical 除子但并非 del Pezzo 曲面有理奇点的最小解析的有理曲面？
• RQ4 通过冗余爆破构造的具有有限生成 Cox 环的有理曲面的双有理结构如何？
• RQ5 反 canonical Iitaka 维数在冗余爆破构造下如何变化？

主要发现

• Cox 环在冗余爆破下保持有限生成，确立了该操作下的不变性。
• 构造了具有反 canonical Iitaka 维数 0 和 $-\infty$ 的新有理曲面族，其 Picard 数可任意大。
• 所构造的曲面具有有限生成的 Cox 环，为具有此类不变量的有理曲面类提供了新例子。
• 该方法产生了具有大反 canonical 除子但并非具有至多有理奇点的 del Pezzo 曲面的最小解析的有理曲面。
• 该构造证实，即使反 canonical Iitaka 维数为 $-\infty$，Cox 环的有限生成性依然保持。
• 结果将已知的具有有限生成 Cox 环的有理曲面类，扩展至先前已知的极小或 del Pezzo 型情况之外。