[论文解读] Refined basic couplings and Wasserstein-type distances for SDEs with Lévy noises

Dejun Luo, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文在Lévy噪声驱动的SDE的半群中建立了$L^1$-Wasserstein距离与总变差距离的指数收敛性。通过为Lévy跳跃过程设计一种改进的基本祸合方法，作者在Lévy测度的弱非退化条件下以及具有局部线性与全局二次耗散性的漂移条件下，推导出明确的收敛速率。

ABSTRACT

We establish the exponential convergence with respect to the $L^1$-Wasserstein distance and the total variation for the semigroup corresponding to the stochastic differential equation (SDE) $$d X_t=d Z_t+b(X_t)\,d t,$$ where $(Z_t)_{t\ge0}$ is a pure jump Lévy process whose Lévy measure $ν$ fulfills $$ \inf_{x\in \R^d, |x|\le κ_0} [ν\wedge (δ_x \ast ν)]( \R^d)>0$$ for some constant $κ_0>0$, and the drift term $b$ satisfies that for any $x,y\in \R^d$, $$\langle b(x)-b(y),x-y angle\le \begin{cases} Φ_1(|x-y|)|x-y|,& |x-y|\le l_0; -K_2|x-y|^2,& |x-y|> l_0 \end{cases}$$ with some positive constants $K_2, l_0$ and positive measurable function $Φ_1$. The method is based on the refined basic coupling for Lévy jump processes. As a byproduct, we obtain sufficient conditions for the strong ergodicity of the process $(X_t)_{t\ge0}$.

研究动机与目标

• 建立Lévy噪声SDE半群在$L^1$-Wasserstein距离与总变差距离下的指数收敛性。
• 将基于祸合的方法扩展至具有非Lipschitz漂移和一般Lévy噪声的跳跃扩散过程。
• 提供解过程强遍历性的充分条件。
• 将现有在跳跃扩散设定下关于Wasserstein收敛的结果推广至扩散情形之外。
• 分析Lévy测度局部结构在确保祸合与收敛中的作用。

提出的方法

• 为Lévy跳跃过程引入一种改进的基本祸合方法，以祸合具有不同初值的SDE的两个解。
• 利用条件$\inf_{|x|\leq\kappa_0} [\nu \wedge (\delta_x * \nu)](\mathbb{R}^d) > 0$，确保跳跃分布具有足够的局部重叠。
• 应用形式为$\langle b(x)-b(y),x-y\rangle \leq \Phi_1(|x-y|)|x-y| - K_2|x-y|^2$的漂移条件，当$|x-y| \geq l_0$时，确保远距离处的耗散性。
• 建立矩估计与路径祸合估计，以控制转移核之间的Wasserstein距离与总变差距离。
• 利用祸合时间及其矩估计，推导出指数衰减速率。
• 利用Lévy密度的可积性及其正则性，控制小跳跃区域内的祸合误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Lévy测度与漂移满足何种条件时，Lévy噪声SDE的半群在$L^1$-Wasserstein距离下实现指数收敛？
• RQ2 改进的基本祸合技术能否扩展至具有非Lipschitz漂移和一般Lévy噪声的SDE？
• RQ3 局部非退化条件$\inf_{|x|\leq\kappa_0} [\nu \wedge (\delta_x * \nu)](\mathbb{R}^d) > 0$在确保祸合与收敛中起什么作用？
• RQ4 漂移在远距离处的耗散行为如何影响收敛速率？
• RQ5 在此跳跃扩散框架下，解过程强遍历性的充分条件是什么？

主要发现

• 在给定的漂移与Lévy测度条件下，$\delta_x P_t$与$\delta_y P_t$之间的$L^1$-Wasserstein距离呈指数快速衰减。
• 相同分布之间的总变差距离也以相同速率实现指数收敛。
• 收敛速率由常数$K_2$与$\kappa_0$，以及$[\nu \wedge (\delta_x * \nu)](\mathbb{R}^d)$的下界明确确定。
• 改进的基本祸合构造确保祸合时间具有指数矩，从而支持指数收敛的推导。
• 该方法适用于非Lipschitz漂移，包括满足$\mathbf{B}(\Phi_1(r), K_2 r, l_0)$且$\Phi_1$可测的情形。
• 结果表明过程$(X_t)_{t \geq 0}$具有强遍历性，且收敛速率与初值无关。