[论文解读] Refined enumeration of $k$-plane trees and $k$-noncrossing trees

Isaac Owino Okoth, Stephan M. Wagner|arXiv (Cornell University)|May 2, 2022

Graph theory and applications被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对 $k$-平面树和 $k$-非交叉树的改进计数公式，基于从 1 到 $k$ 的每个值所标记的顶点数量。通过函数方程和拉格朗日-伯尔曼反演公式，作者推导出具有指定标签重数的此类树的数量的显式乘积公式，从而得到闭式表达式和新的组合恒等式。主要贡献是针对给定标签频率的 $k$-平面树的精细计数，得到了一个出人意料的简单乘积公式。

ABSTRACT

A $k$-plane tree is a plane tree whose vertices are assigned labels between $1$ and $k$ in such a way that the sum of the labels along any edge is no greater than $k+1$. These trees are known to be related to $(k+1)$-ary trees, and they are counted by a generalised version of the Catalan numbers. We prove a surprisingly simple refined counting formula, where we count trees with a prescribed number of labels of each kind. Several corollaries are derived from this formula, and an analogous theorem is proven for $k$-noncrossing trees, a similarly defined family of labelled noncrossing trees that are related to $(2k+1)$-ary trees.

研究动机与目标

• 基于从 1 到 $k$ 的每个值所标记的顶点数量，推导 $k$-平面树的精细计数公式。
• 将精细计数推广至 $k$-非交叉树，即一类相关的非交叉标记树。
• 为具有指定标签重数的此类树的数量建立显式乘积公式，推广广义卡塔兰数。
• 计算这些树族中标签频率的矩与分布，包括均值、方差和协方差。
• 当 $k=2$ 时，将平面树中独立集的已知结果作为特例恢复。

提出的方法

• 建立编码标记树计数的生成函数的函数方程组。
• 应用拉格朗日-伯尔曼反演公式求解函数方程并提取系数。
• 通过巧妙的代换简化生成函数方程组，推导出闭式表达式。
• 推导出具有指定标签计数的 $k$-平面树的数量的乘积公式，根据根标签的不同区分情况。
• 通过将 $k$-非交叉树与具有特定步长类型和基于层级的下降步数的格路相关联，将方法扩展至 $k$-非交叉树。
• 通过微分生成函数并利用留数计算提取系数，计算矩（均值、方差、协方差）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个 $i \in [k]$，给定标记为 $i$ 的顶点数量，$k$-平面树的确切数量是多少？
• RQ2 在 $k$-平面树中，标签分布的行为如何，特别是其均值、方差和协方差？
• RQ3 $k$-非交叉树的精细计数能否用类似于 $k$-平面树的乘积公式表达？
• RQ4 当 $k=2$ 时，结果如何恢复或推广平面树中独立集的已知结果？
• RQ5 支撑所推导的 $k$-平面树和 $k$-非交叉树乘积公式的结构对称性或对偶性是什么？

主要发现

• 根标签为 $h$，且对每个 $i \in [k]$ 有 $\ell_i$ 个顶点标记为 $i$ 的 $k$-平面树的数量，由依赖于 $h$、$k$ 和累积标签计数的二项式系数乘积给出。
• 当 $k=4$ 时，具有 $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$ 个顶点分别标记为 $1,2,3,4$ 的 $4$-平面树总数为 $\frac{1}{n-1}\binom{2n-2}{\ell_1}\binom{2n-2-\ell_1-\ell_4}{\ell_2}\binom{n-1}{\ell_3}\binom{\ell_1+\ell_4-1}{\ell_4}$。
• 在 $n$ 个顶点的 $2$-非交叉树中，标记为 $1$ 的顶点数量的方差为 $\frac{3(2n-1)(4n-3)(49n^2-100n+44)}{25(5n-6)(7n-5)^2}$。
• 在 $2$-非交叉树中，标记为 $1$ 和 $2$ 的顶点数量之间的协方差为负，且其绝对值等于任一标签的方差，这是由于标签总和为 $n$ 的确定性关系。
• 在 $n$ 个顶点且根标签为 $1$ 的 $2$-非交叉树中，标记为 $1$ 的顶点的平均数量为 $\frac{3n^2 - n - 1}{5n - 4}$。
• 当 $k=2$ 时，结果恢复了平面树中每种大小的独立集数量的已知公式，与先前工作一致。