[论文解读] Refined Tail Asymptotic Properties for the $M^X/G/1$ Retrial Queue

Bin Liu, Jie Min+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 33被引用 4

一句话总结

该论文在轻尾分布为正则变体尾部的假设下，对 $M^X/G/1$ 重试队列的尾部渐近性质进行了精细化分析，消除了先前要求服务时间尾部比批大小更重的限制条件。论文建立了重试队列与标准队列尾部概率差异的精细渐近表征，证明了即使批大小尾部不轻于服务时间，二者仍保持渐近等价，且通过生成函数分析与Tauberian定理推导出明确的尾部衰减速率。

ABSTRACT

In the literature, retrial queues with batch arrivals and heavy service times have been studied and the so-called equivalence theorem has been established under the condition that the service time is heavier than the batch size. The equivalence theorem provides the distribution (or tail) equivalence between the total number of customers in the system for the retrial queue and the total number of customers in the corresponding standard (non-retrial) queue. In this paper, under the assumption of regularly varying tails, we eliminate this condition by allowing that the service time can be either heavier or lighter than the batch size. The main contribution made in this paper is an asymptotic characterization of the difference between two tail probabilities: the probability of the total number of customers in the system for the $M^X/G/1$ retrial queue and the probability of the total number of customers in the corresponding standard (non-retrial) queue. The equivalence theorem by allowing a heavier batch size is another contribution in this paper.

研究动机与目标

• 解决文献中关于当批大小尾部不轻于服务时间时，$M^X/G/1$ 重试队列与标准队列之间尾部等价性的研究空白。
• 消除现有重试队列等价定理中要求服务时间必须比批大小更重的限制性假设。
• 为重试队列与对应非重试队列的尾部概率差异提供精细的渐近表征。
• 在正则变体尾部假设下建立等价定理，包括批大小尾部重于服务时间的情形。
• 通过概率生成函数上的解析技术，推导出 $M^X/G/1$ 重试队列中平稳队列长度分布的显式尾部衰减速率。

提出的方法

• 利用生成函数分析与解析延拓，研究平稳队列长度 $L_{\nu}$ 的概率生成函数 $Ez^{L_{\nu}}$。
• 应用Tauberian定理与 $z=1$ 处的 $\Delta$-解析性，从生成函数在 $z \uparrow 1$ 附近的性质中提取尾部渐近行为。
• 采用随机分解方法，将重试队列长度表示为标准队列长度与一个独立随机变量之和，从而实现尾部比较。
• 通过涉及参数 $v$、$u$ 与 $\Gamma(1-u)$ 的级数展开，推导 $1 - X(z)$ 与 $\beta^{(e)}(\lambda - \lambda X(z))$ 在 $z=1$ 附近的渐近展开。
• 利用生成函数的结构，基于服务时间与批大小分布的正则变异性，识别出尾部分布展开中的主导项，特别是 $j^{-u}$ 与 $j^{-u-1}$ 项。
• 应用引理 8.2，将生成函数的渐近行为转化为 $P\{L_{\infty} = j\}$ 的尾部概率衰减速率，当 $j \to \infty$ 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 当批大小尾部不轻于服务时间时，$M^X/G/1$ 重试队列的尾部渐近行为在何种条件下与对应的标准 $M^X/G/1$ 队列一致？
• RQ2 重试队列的等价定理能否在服务时间尾部不重于批大小的范围内扩展，特别是在正则变体尾部假设下？
• RQ3 当批大小分布尾部重于服务时间时，重试队列与标准队列尾部概率之间的精确渐近差异是什么？
• RQ4 $M^X/G/1$ 重试队列中平稳队列长度分布的尾部衰减速率如何依赖于服务时间与批大小分布的正则变异性参数？
• RQ5 在无闭式解的情况下，哪些解析技术可用于推导显式的尾部渐近行为？

主要发现

• 论文证明，即使批大小尾部重于服务时间，$M^X/G/1$ 重试队列的尾部渐近行为仍与标准 $M^X/G/1$ 队列一致，从而将等价定理的适用范围扩展至先前假设之外。
• 队列长度分布的主导尾部衰减速率为 $j^{-u}$，其中 $u$ 为服务时间分布的正则变异性指数，显式系数为 $\frac{\rho}{1-\rho} \frac{v^u}{\chi_1} \Gamma(1-u)$。
• 尾部概率 $P\{L_{\infty} = j\}$ 的渐近行为为 $\frac{\rho}{1-\rho} \frac{v^u}{\chi_1} \Gamma(1-u) j^{-u} + w_{10} j^{-u-1} + \sum_{(k_1,k_2) \in S_2} l_{k_1,k_2} j^{-k_1(a-1) - k_2(u-1) - 1} + \sum_{k \in S_3} l_k j^{-k(u-1) - 1} + o(j^{-u-1})$，当 $j \to \infty$ 时。
• 该分布最终单调递减，这是由推导出的渐近展开式及对尾部行为应用引理 8.1 的结果。
• 等价定理在正则变体尾部假设下被证明成立，即使批大小尾部重于服务时间，这在以往文献中是一个开放问题。
• 分析确认生成函数 $Ez^{L_{\infty}}$ 在 $z=1$ 处为 $\Delta$-解析，从而可应用Tauberian定理以精确提取尾部渐近行为。