[论文解读] Refined unramified homology of schemes

Stefan Schreieder|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文引入了精化未分歧上同调，这是一种新不变量，统一了Borel–Moore同调、代数循环与经典未分歧上同调。证明了在有限生成域上，l-进楚群由该上同调计算；在代数闭域上，该理论将关于循环的先前结果推广至任意余维数与奇异概形，建立了 torsion 循环模代数等价关系的有限滤子，其分次项由高阶 Abel–Jacobi 不变量控制。

ABSTRACT

We introduce refined unramified cohomology of algebraic schemes and show that it interpolates between Borel--Moore homology, algebraic cycles, and classical unramified cohomology. We prove that over finitely generated fields, l-adic Chow groups of algebraic schemes are computed by refined unramified cohomology. Over algebraically closed fields, our approach simplifies and generalizes to cycles of arbitrary codimensions on possibly singular schemes, previous results of Bloch--Ogus, Colliot-Thelene--Voisin, Kahn, Voisin, and Ma that concerned cycles of low (co-)dimensions on smooth projective varieties. As an application, we prove Green's conjecture for torsion cycles modulo algebraic equivalence on complex algebraic schemes: there is a finite filtration on torsion cycles modulo algebraic equivalence such that the graded quotients are determined by higher Abel--Jacobi invariants.

研究动机与目标

• 开发一个插值于 Borel–Moore 同调、代数循环与经典未分歧上同调之间的上同调框架。
• 将先前局限于光滑射影概形与低余维数的代数循环结果推广至任意余维数与奇异概形。
• 在复代数概形上，建立 torsion 循环模代数等价关系的有限滤子。
• 证明该滤子的分次项由高阶 Abel–Jacobi 不变量决定。
• 证明在有限生成域上，代数概形的 l-进楚群由精化未分歧上同调计算。

提出的方法

• 通过与循环理论条件相关的未分歧上同调的精化，引入代数概形的新不变量——精化未分歧上同调。
• 利用 l-进上同调的结构与循环类映射，将精化未分歧上同调与有限生成域上的 l-进楚群联系起来。
• 应用对偶性与奇异性的消解技术，将结果从光滑概形推广至奇异概形。
• 利用高阶 Abel–Jacobi 映射分析 torsion 循环模代数等价关系的结构。
• 利用精化未分歧上同调群，构造 torsion 循环模代数等价关系的有限滤子。
• 证明该滤子的分次项同构于高阶 Abel–Jacobi 不变量的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对未分歧上同调进行精化，以捕捉超越经典不变量的代数循环信息？
• RQ2 在有限生成域上，精化未分歧上同调在多大程度上能计算 l-进楚群？
• RQ3 先前关于光滑射影概形上低余维数循环的结果，能否推广至任意余维数与奇异概形？
• RQ4 是否存在 torsion 循环模代数等价关系的有限滤子，其分次项由高阶 Abel–Jacobi 不变量控制？
• RQ5 精化未分歧上同调如何统一 Borel–Moore 同调、代数循环与经典未分歧上同调？

主要发现

• 精化未分歧上同调提供了一个插值于 Borel–Moore 同调、代数循环与经典未分歧上同调的统一框架。
• 在有限生成域上，代数概形的 l-进楚群由精化未分歧上同调计算。
• 在代数闭域上，该理论将先前关于循环的结果推广至任意余维数与奇异概形。
• 在复代数概形上，torsion 循环模代数等价关系存在有限滤子。
• 该滤子的分次项由高阶 Abel–Jacobi 不变量决定，从而在该背景下证实了 Green 猜想。
• 该方法简化并扩展了 Bloch–Ogus、Colliot-Thélène–Voisin、Kahn、Voisin 与 Ma 的早期结果。