[论文解读] Reflected BSDEs when the obstacle is not right-continuous and optimal stopping

Miryana Grigorova, Peter Imkeller+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过使用最优停时、Mertens分解和广义伊藤公式等工具，建立了反射倒向随机微分方程（RBSDEs）在障碍为右上半连续但未必右连续条件下的解的存在性与唯一性。此外，本文将这些RBSDEs与基于f-条件数学期望的最优停时问题联系起来，刻画了值函数，并在附加正则性条件下证明了最优停时的存在性。

ABSTRACT

In the first part of the paper, we study reflected backward stochastic differential equations (RBSDEs) with lower obstacle which is assumed to be right upper-semicontinuous but not necessarily right-continuous. We prove existence and uniqueness of the solutions to such RBSDEs in appropriate Banach spaces. The result is established by using some tools from the general theory of processes such as Mertens decomposition of optional strong (but not necessarily right-continuous) supermartingales, some tools from optimal stopping theory, as well as an appropriate generalization of It{ô}'s formula due to Gal'chouk and Lenglart. In the second part of the paper, we provide some links between the RBSDE studied in the first part and an optimal stopping problem in which the risk of a financial position $ξ$ is assessed by an $f$-conditional expectation $\mathcal{E}^f(\cdot)$ (where $f$ is a Lipschitz driver). We characterize the "value function" of the problem in terms of the solution to our RBSDE. Under an additional assumption of left upper-semicontinuity on $ξ$, we show the existence of an optimal stopping time. We also provide a generalization of Mertens decomposition to the case of strong $\mathcal{E}^f$-supermartingales.

研究动机与目标

• 将反射BSDE理论推广至仅右上半连续但未必右连续的障碍。
• 在放宽的连续性假设下，于适当的巴拿赫空间中建立解的存在性与唯一性。
• 将RBSDE解与通过f-条件期望评估风险的最优停时问题联系起来。
• 在沿停时具有额外左上半连续性条件时，证明最优停时的存在性。
• 将Mertens分解推广至强E^f-上鞅，并为这些RBSDEs建立比较原理。

提出的方法

• 利用最优停时理论中的工具，包括动态风险度量中本质上确界的刻画。
• 应用强可选上鞅的Mertens分解以处理非右连续过程。
• 采用Gal’chouk和Lenglart的广义伊藤公式处理强可选半鞅。
• 运用随机过程的一般理论，特别是可选分解与预测补偿子。
• 应用f-条件期望与E^f-上鞅理论以建模动态风险度量。
• 通过惩罚方法构造解，并在适当的巴拿赫空间中证明收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当障碍非右连续但仅右上半连续时，RBSDE是否仍可求解？
• RQ2 此类RBSDE的解如何与基于f-条件期望的最优停时问题相关联？
• RQ3 在f-期望下的风险最小化问题中，最优停时存在的条件是什么？
• RQ4 Mertens分解能否推广至强E^f-上鞅？
• RQ5 当障碍缺乏右连续性时，非减过程在保持解高于障碍中的作用是什么？

主要发现

• 即使障碍非右连续，具有右上半连续障碍的RBSDE在适当的巴拿赫空间中仍存在唯一解。
• 最优停时问题的值函数被刻画为驱动系数为f、障碍为ξ的RBSDE唯一解的第一分量。
• 当过程ξ沿停时具有左上半连续性时，最优停时存在。
• 在一般情况下（无需左上半连续性假设），存在ε-最优停时。
• 为强E^f-上鞅建立了Mertens分解的推广，将经典结果扩展至非线性期望情形。
• 为所研究的RBSDEs证明了比较原理，确保在适当条件下保持顺序关系。