[论文解读] Regenerative Composition Structures

Alexander Gnedin, Jim Pitman|ArXiv.org|Jul 22, 2003

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文引入了再生组合结构——满足再生性质的整数马尔可夫随机组合，即在移除第一部分后，剩余组合的分布与原始分布相同。作者证明这些结构源于在 $[0,\infty)$ 上的随机抽样，通过再生随机集（子调和过程的范围）实现，并通过关联子调和过程的 Lévy 参数（漂移和 Lévy 测度）完全刻画了这些结构，其中唯一可逆的结构对应于 Bessel 桥的超出部分。

ABSTRACT

A new class of random composition structures (the ordered analog of Kingman's partition structures) is defined by a regenerative description of component sizes. Each regenerative composition structure is represented by a process of random sampling of points from an exponential distribution on the positive halfline, and separating the points into clusters by an independent regenerative random set. Examples are composition structures derived from residual allocation models, including one associated with the Ewens sampling formula, and composition structures derived from the zero set of a Brownian motion or Bessel process. We provide characterisation results and formulas relating the distribution of the regenerative composition to the L{é}vy parameters of a subordinator whose range is the corresponding regenerative set. In particular, the only reversible regenerative composition structures are those associated with the interval partition of $[0,1]$ generated by excursions of a standard Bessel bridge of dimension $2 - 2 α$ for some $α\in [0,1]$.

研究动机与目标

• 定义并刻画一类具有再生性质的新随机组合结构，将 Kingman 的划分结构推广至有序情形。
• 通过从指数分布中随机抽样并利用独立的再生随机闭集对这些结构进行表示。
• 将组合结构的分布与定义再生集的子调和过程的 Lévy 参数（漂移和 Lévy 测度）联系起来。
• 识别出唯一的可逆再生组合结构，表明其对应于标准 Bessel 桥在维度 $2-2\alpha$（$\alpha \in [0,1]$）下的超出部分生成的区间划分。

提出的方法

• 将每个再生组合结构表示为在 $[0,\infty)$ 上从指数分布中抽样点，再利用独立的再生随机闭集 $\mathcal{R}$ 将点分组为簇的过程。
• 利用 Maisonneuve 定理将 $\mathcal{R}$ 表示为子调和过程 $(S_t)$ 的闭范围，该过程为具有平稳独立增量的递增 Lévy 过程。
• 通过 $\widetilde{\mathcal{R}} = 1 - \exp(-\mathcal{R})$ 将设置变换到单位区间，从而实现基于均匀抽样的有序油漆桶表示。
• 推导关键变量（如 $\widetilde{G}_{1n}, \widetilde{H}_{1n}$）的拉普拉斯变换与梅林变换，以刻画组合中块大小的分布。
• 将 $[0,1]$ 分解为三部分：第一块之前、包含第一块、第一块之后的区间，并推导这些区间的大小的联合矩。
• 利用非线性递推关系与非线性变换，将刻画问题转化为 Hausdorff 矩问题，将 Lévy 数据编码为 $[0,1]$ 上的有限测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 再生组合结构的类在随机过程与 Lévy 参数方面如何表征？
• RQ2 再生组合结构如何通过随机抽样与再生随机集来表示？
• RQ3 哪些组合结构是可逆的，其结构形式是什么？
• RQ4 子调和过程的 Lévy 参数与组合结构的抽样公式之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下，一个划分结构允许再生重排，且该重排是否唯一？

主要发现

• 每个再生组合结构均源于子调和过程的范围：再生集 $\mathcal{R}$ 是具有漂移 $\tt{d}$ 和 Lévy 测度 $\nu$ 的子调和过程的闭范围，组合结构由在 $[0,\infty)$ 上从指数分布中抽样并按 $\mathcal{R}$ 分组形成。
• 唯一可逆的再生组合结构是那些对应于标准 Bessel 桥在维度 $2-2\alpha$（$\alpha \in [0,1]$）下超出部分生成的 $[0,1]$ 区间划分的结构，这包括了两参数划分结构族。
• 在 $n$ 个元素的组合中，第一块大小的分布由 $\mathbb{E}(1 - \widetilde{G}_{1n})^{n-1} = \Phi(1)/\Phi(n)$ 刻画，其中 $\Phi(n)$ 是由 Lévy 测度导出的归一化函数。
• 单位区间分解中第一块、其前区间与后区间的大小的联合矩由包含二项式系数和 $\Phi$-函数的公式给出，并可明确解释为块大小概率的表达。
• 第一块的结构分布（包含元素 1 的类的频率）为 $H = \widetilde{H}_{1n}/(1 - \widetilde{G}_{1n})$，其与 $\widetilde{G}_{1n}$ 独立，且其分布已知，涉及 $\widetilde{\nu}$ 和 $\tt{d}$。
• 对于两参数划分结构族，每个正参数成员均对应唯一的再生组合结构，且其关联的组合结构可逆当且仅当其源于 Bessel 桥的超出部分。