[论文解读] Region of Attraction for Power Systems using Gaussian Process and Converse Lyapunov Function -- Part I: Theoretical Framework and Off-line Study

Chao Zhai, Hung D. Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2019

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 36被引用 10

一句话总结

该论文提出了一种基于高斯过程（GP）的新框架，用于在无需解析李雅普诺夫函数的情况下估计电力系统的吸引域（ROA），该方法利用逆李雅普诺夫定理与GP-UCB采样策略，平衡探索与利用。该方法从稳定状态轨迹中学习未知的李雅普诺夫函数，并保证以概率方式收敛至平衡点，且在经认证的ROA内，显著扩大了传统解析李雅普诺夫方法所估计的区域。

ABSTRACT

This paper introduces a novel framework to construct the region of attraction (ROA) of a power system centered around a stable equilibrium by using stable state trajectories of system dynamics. Most existing works on estimating ROA rely on analytical Lyapunov functions, which are subject to two limitations: the analytic Lyapunov functions may not be always readily available, and the resulting ROA may be overly conservative. This work overcomes these two limitations by leveraging the converse Lyapunov theorem in control theory to eliminate the need of an analytic Lyapunov function and learning the unknown Lyapunov function with the Gaussian Process (GP) approach. In addition, a Gaussian Process Upper Confidence Bound (GP-UCB) based sampling algorithm is designed to reconcile the trade-off between the exploitation for enlarging the ROA and the exploration for reducing the uncertainty of sampling region. Within the constructed ROA, it is guaranteed in probability that the system state will converge to the stable equilibrium with a confidence level. Numerical simulations are also conducted to validate the assessment approach for the ROA of the single machine infinite bus system and the New England $39$-bus system. Numerical results demonstrate that our approach can significantly enlarge the estimated ROA compared to that of the analytic Lyapunov counterpart.

研究动机与目标

• 解决现有ROA估计方法依赖于解析构造的李雅普诺夫函数所带来的局限性，这些函数往往不可用或过于保守。
• 开发一种数据驱动框架，利用系统动力学中的稳定状态轨迹来构建ROA，从而消除对显式解析李雅普诺夫函数的需求。
• 通过高斯过程回归引入不确定性量化，为ROA提供用户指定置信水平下的概率保证。
• 设计基于GP-UCB的采样策略，以最优方式平衡新区域的探索与有前景区域的利用，从而高效扩展ROA。
• 当已有李雅普诺夫函数时，扩展其经认证的ROA，通过数据驱动的优化方法改善其保守性。

提出的方法

• 该框架利用逆李雅普诺夫定理，基于稳定状态轨迹保证李雅普诺夫函数的存在性，避免了其解析构造的需要。
• 未知的李雅普诺夫函数被建模为高斯过程（GP），其后验分布通过核方法与正则化，从采样的轨迹数据中学习得到。
• 采用基于GP-UCB的采样算法，迭代选择新的采样点，以平衡不确定性减少（探索）与ROA扩展（利用）。
• ROA被定义为学习到的GP估计李雅普诺夫函数的等值集，其概率边界由GP的均值与置信区间推导得出。
• 该方法确保：对于计算区域内任意状态，系统以至少 $1 - \delta$ 的概率收敛至平衡点，其中 $\delta$ 为用户定义的置信参数。
• 通过再生核希尔伯特空间（RKHS）范数与集中不等式，推导出GP估计误差的理论边界，确保概率ROA认证的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于高斯过程的非参数数据驱动方法，在无需解析李雅普诺夫函数的情况下，用于估计电力系统的吸引域？
• RQ2 在采样过程中，如何有效管理探索（减少不确定性）与利用（扩展ROA）之间的权衡？
• RQ3 与传统解析李雅普诺夫函数方法相比，该方法在多大程度上能够扩大经认证的ROA？
• RQ4 当已有已知李雅普诺夫函数时，该框架能否扩展并扩大其ROA？
• RQ5 在李雅普诺夫函数估计存在不确定性的情况下，所估计ROA的概率正确性有何理论保证？

主要发现

• 所提出的基于GP的ROA估计方法在IEEE 39节点系统上的验证表明，其显著扩大了经认证的吸引域范围，相比解析李雅普诺夫函数方法。
• 在单机无穷大系统与新英格兰39节点系统上的数值仿真结果表明，该方法在保持 $1 - \delta$ 置信水平下收敛概率保证的同时，实现了更大的ROA。
• GP-UCB采样策略成功平衡了探索与利用，实现了以最少采样点高效且有效地扩展ROA。
• 该方法提供了严格的概率边界：对于计算区域 $\Omega_{\delta,N}$ 内的任意状态，系统以至少 $1 - \delta$ 的概率收敛至平衡点。
• 当已有李雅普诺夫函数 $V^\star(\mathbf{x})$ 时，该框架可通过GP学习差值 $\Delta V(\mathbf{x}) = V(\mathbf{x}) - V^\star(\mathbf{x})$ 来扩展其经认证的ROA，从而改善其保守性。
• 理论分析确认，估计的李雅普诺夫函数 $V(\mathbf{x})$ 以高概率落在GP后验均值的置信区间内，从而确保了等值集ROA的有效性。