[论文解读] Registration-based model reduction in complex two-dimensional geometries

Tommaso Taddei, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 32被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种基于配准的模型降阶框架，用于复杂二维参数化PDE在非平凡几何（如环形区域和一般二维形状）中的问题。通过引入基于谱元近似和极坐标变换的几何感知映射，该方法将解流形转换为适合线性压缩的形式，显著提升了具有尖锐梯度或复杂边界问题的降阶模型精度。

ABSTRACT

We present a general -- i.e., independent of the underlying equation -- registration procedure for parameterized model order reduction. Given the spatial domain $Ω\subset \mathbb{R}^2$ and the manifold $\mathcal{M}= \{ u_μ : μ\in \mathcal{P} \}$ associated with the parameter domain $\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^P$ and the parametric field $μ\mapsto u_μ \in L^2(Ω)$, our approach takes as input a set of snapshots $\{ u^k \}_{k=1}^{n_{ m train}} \subset \mathcal{M}$ and returns a parameter-dependent bijective mapping $Φ: Ω imes \mathcal{P} o \mathbb{R}^2$: the mapping is designed to make the mapped manifold $\{ u_μ \circ Φ_μ: \, μ\in \mathcal{P} \}$ more amenable for linear compression methods. In this work, we extend and further analyze the registration approach proposed in [Taddei, SISC, 2020]. The contributions of the present work are twofold. First, we extend the approach to deal with annular domains by introducing a suitable transformation of the coordinate system. Second, we discuss the extension to general two-dimensional geometries: towards this end, we introduce a spectral element approximation, which relies on a partition $\{ Ω_{q} \}_{q=1} ^{N_{ m dd}}$ of the domain $Ω$ such that $Ω_1,\ldots,Ω_{N_{ m dd}}$ are isomorphic to the unit square. We further show that our spectral element approximation can cope with parameterized geometries. We present rigorous mathematical analysis to justify our proposal; furthermore, we present numerical results for a heat-transfer problem in an annular domain, a potential flow past a rotating symmetric airfoil, and an inviscid transonic compressible flow past a non-symmetric airfoil, to demonstrate the effectiveness of our method.

研究动机与目标

• 解决现有基于配准的模型降阶方法的局限性，这些方法仅适用于微分同胚于单位正方形的区域。
• 通过极坐标变换将配准框架扩展至环形区域。
• 提出一种分区谱元方法，将配准框架推广至具有光滑边界的任意二维几何。
• 实现在复杂区域中解流形的高效线性压缩，这些区域的Kolmogorov N-宽度衰减缓慢。
• 在具有挑战性的参数化PDE问题上验证该方法的有效性，包括热传导、势流以及具有激波形成的跨音速流。

提出的方法

• 引入一个参数化双射映射 $\Phi: \Omega \times \mathcal{P} \to \mathbb{R}^2$，将区域重参数化，以对齐解流形，从而改善线性逼近效果。
• 对于环形区域，应用极坐标变换 $\Psi: \widehat{\Omega}_{\text{pol}} \to \Omega$，将环形区域映射到矩形参考区域 $ (0,1) \times (-1/2, 1/2) $。
• 将映射构造为 $ \Phi = \Psi \circ \Phi_{\text{pol}} \circ \Lambda $，其中 $ \Phi_{\text{pol}} = \text{id} + W_M \mathbf{a} $，$ W_M $ 为参考区域上的线性算子。
• 基于分解 $ \{\Omega_q\}_{q=1}^{N_{\text{dd}}} $（每个 $ \Omega_q $ 微分同胚于单位正方形）的谱元近似方法，用于处理一般二维几何。
• 对映射后的解 $ u_\mu \circ \Phi_\mu $ 应用本征正交分解（POD），以构建低维近似子空间。
• 利用径向基函数（RBF）回归预测新参数值下的映射系数 $ \mathbf{a}^\mu $ 和解系数 $ \boldsymbol{\alpha}^\mu $。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于配准的模型降阶方法能否扩展至非微分同胚于单位正方形的环形区域？
• RQ2 谱元方法如何用于将配准推广至具有光滑边界的任意二维几何？
• RQ3 所提出的配准框架在多大程度上提升了具有尖锐梯度或激波的参数化PDE降阶模型的逼近质量？
• RQ4 该方法在应用于高保真、非线性PDE（如跨音速Euler流）时是否仍能保持精度与效率？
• RQ5 几何变换与区域划分对降阶模型的收敛性与稳定性有何影响？

主要发现

• 所提出的方法通过参考区域上的极坐标变换与谱近似，成功将基于配准的模型降阶扩展至环形区域。
• 在非对称机翼的跨音速流问题中，配准后的ROM相较于未配准版本在激波区域附近显著降低了相对 $ L^2 $ 预测误差。
• 在跨音速流算例中，配准方法的平均相对 $ L^2 $ 投影误差在使用 $ N = 20 $ 个模态时降至 $ 10^{-3} $ 以下。
• 配准ROM在所有测试参数下的相对预测误差均低于 $ 10^{-3} $，表明其具有鲁棒的泛化性能。
• 该方法实现了在复杂几何中解流形的有效线性压缩，而标准POD因Kolmogorov N-宽度衰减缓慢而失效。
• 数值结果证实，映射 $ \Phi_\mu $ 有效对齐了解特征（如激波、边界层），使其更适用于线性逼近。