[论文解读] Regular integers modulo n

László Tóth|ArXiv.org|Oct 10, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文研究模 $n$ 下正则整数的算术性质，正则整数定义为满足存在 $x$ 使得 $a^2x ≁ a \pmod{n}$ 的整数 $a$。本文证明模 $n$ 下此类整数的个数 $\varrho(n)$ 是乘性函数，且满足 $\varrho(n) = \sum_{d \mid\mid n} \phi(d)$，其中 $\phi$ 为欧拉函数。主要贡献在于推导出平均阶 $\sum_{n \leq x} \varrho(n) = \frac{1}{2} A x^2 + O(x \log x)$，其中 $A \approx 0.8815$，并确定 $\varrho(n)/\phi(n)$、$\phi(n)/\varrho(n)$ 和 $1/\varrho(n)$ 的极值阶，表明 $\liminf_{n \to \infty} \varrho(n) \log \log n / n = e^{-\gamma}$ 且 $\limsup_{n \to \infty} \varrho(n)/( \phi(n) \log \log n) = e^{\gamma}$。所有结果均通过初等与解析数论方法推导得出。

ABSTRACT

Let $n=p_1^{ν_1}... p_r^{ν_r} >1$ be an integer. An integer $a$ is called regular (mod $n$) if there is an integer $x$ such that $a^2x\equiv a$ (mod $n$). Let $\varrho(n)$ denote the number of regular integers $a$ (mod $n$) such that $1\le a\le n$. Here $\varrho(n)=(ϕ(p_1^{ν_1})+1)... (ϕ(p_r^{ν_r})+1)$, where $ϕ(n)$ is the Euler function. In this paper we first summarize some basic properties of regular integers (mod $n$). Then in order to compare the rates of growth of the functions $\varrho(n)$ and $ϕ(n)$ we investigate the average orders and the extremal orders of the functions $\varrho(n)/ϕ(n)$, $ϕ(n)/\varrho(n)$ and $1/\varrho(n)$.

研究动机与目标

• 通过初等与环论性质刻画模 $n$ 下的正则整数。
• 分析 $\varrho(n)$、$\phi(n)$ 及其比值 $\varrho(n)/\phi(n)$、$\phi(n)/\varrho(n)$ 和 $1/\varrho(n)$ 的增长速率。
• 确定 $\varrho(n)$ 的平均阶，并改进其求和函数中的误差项。
• 建立 $\varrho(n)/\phi(n)$ 与 $1/\varrho(n)$ 的极值阶，将其与 $e^{\gamma}$ 和 $A \approx 0.8815$ 等经典常数联系起来。

提出的方法

• 证明模 $n$ 下正则整数的六种等价刻画，包括 $a^2x \equiv a \pmod{n}$、$\gcd(a,n) \mid\mid n$ 以及 $a^{\phi(n)+1} \equiv a \pmod{n}$。
• 利用 $\varrho(n)$ 的乘法结构，将其表示为 $\varrho(n) = \sum_{d \mid\mid n} \phi(d)$，其中 $d \mid\mid n$ 表示单位因子。
• 应用关于 $\phi(n)/n$ 和 $1/\phi(n)$ 的求和已知渐近结果，特别是瓦利什估计 $\sum_{n \leq x} \frac{\phi(n)}{n} = \frac{6}{\pi^2}x + O((\log x)^{2/3}(\log \log x)^{4/3})$。
• 使用狄利克雷卷积与乘法数论函数，将 $1/\varrho(n)$ 分解为单位因子上的和，从而可应用已知的欧拉乘积估计。
• 应用乘法函数理论与欧拉乘积收敛性，推导出 $\sum_{n \leq x} \frac{1}{\varrho(n)}$ 渐近展开中的常数 $D = \frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} \prod_p \left(1 - \frac{p(p-1)}{p^2 - p + 1} \sum_{\nu=1}^\infty \frac{1}{p^\nu (p^\nu - p^{\nu-1} + 1)} \right)$。
• 利用文献 [11] 中关于乘法函数极值阶的结果，推导 $\varrho(n)/\phi(n)$ 与 $\varrho(n)/n$ 的下极限与上极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数 $\varrho(n)$（模 $n$ 下正则整数的个数）的平均阶是什么？
• RQ2 $\varrho(n)/\phi(n)$、$\phi(n)/\varrho(n)$ 与 $1/\varrho(n)$ 的极值阶是什么？
• RQ3 在增长速率方面，$\varrho(n)$ 与 $\phi(n)$ 如何比较，特别是在下极限与上极限意义下？
• RQ4 $\sum_{n \leq x} \frac{1}{\varrho(n)}$ 的精确渐近展开是什么？其首项由哪些常数控制？

主要发现

• 平均阶满足 $\sum_{n \leq x} \varrho(n) = \frac{1}{2} A x^2 + O(x \log x)$，其中 $A \approx 0.8815$ 为二次类数常数。
• 函数 $\varrho(n)$ 是乘性函数，且满足 $\varrho(n) = \sum_{d \mid\mid n} \phi(d)$，其中 $\varrho(p^\nu) = \phi(p^\nu) + 1 = p^\nu - p^{\nu-1} + 1$。
• $\varrho(n)$ 的最小阶满足 $\liminf_{n \to \infty} \frac{\varrho(n) \log \log n}{n} = e^{-\gamma}$，与 $\phi(n)$ 的最小阶一致。
• $\varrho(n)/\phi(n)$ 的最大阶满足 $\limsup_{n \to \infty} \frac{\varrho(n)}{\phi(n) \log \log n} = e^{\gamma}$，表明对某些 $n$，$\varrho(n)$ 可显著大于 $\phi(n)$。
• 求和 $\sum_{n \leq x} \frac{1}{\varrho(n)}$ 具有渐近展开 $D \log x + E + O\left(\frac{\log^9 x}{x}\right)$，其中 $D$ 为包含 $\zeta$-函数与局部因子的收敛欧拉乘积。
• 平均阶中误差项被改进为 $O(x \log x)$，优于早期的 $O(x \log^3 x)$ 与 $O(x \log^2 x)$。