[论文解读] Regular multiplier Hopf algebroids II. Integration on and duality of algebraic quantum groupoids

Thomas Timmermann|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文在無有限性假設下，為正則乘子 Hopf 代數胚建立了一套對偶理論，使用基上適配於擬不變權重的左與右積分。本文證明了唯一模形式積分的存在性，並構造出對偶乘子 Hopf 代數胚，在代數設定下實現了完整的雙重對偶性。

ABSTRACT

A fundamental feature of quantum groups is that many come in pairs of mutually dual objects, like finite-dimensional Hopf algebras and their duals, or quantisations of function algebras and of universal enveloping algebras of Poisson-Lie groups. The same phenomenon was studied for quantum groupoids in various settings. In the purely algebraic setup, the construction of a dual object was given by Schauenburg and by Kadison and Szlachányi, but required the quantum groupoid to be finite with respect to the base. A sophisticated duality for measured quantum groupoids was developed by Enock, Lesieur and Vallin in the setting of von Neumann algebras. We propose a purely algebraic duality theory without any finiteness assumptions, generalising Van Daele's duality theory of multiplier Hopf algebras and borrowing ideas from the theory of measured quantum groupoids. Our approach is based on the multiplier Hopf algebroids recently introduced by Van Daele and the author, and on a new approach to integration on algebraic quantum groupoids. The main concept are left and right integrals on regular multiplier Hopf algebroids that are adapted to quasi-invariant weights on the basis. Given such integrals, we show that they are unique up to rescaling, admit modular automorphisms, and that left and right ones are related by modular elements. Then, we construct, without any finiteness or Frobenius assumption, a dual multiplier Hopf algebroid with integrals and prove biduality.

研究动机与目标

• 發展一種純粹代數的對偶理論，適用於代數量子群胚，無需假設有限性或 Frobenius 條件。
• 將 Van Daele 對乘子 Hopf 代數的對偶理論推廣至正則乘子 Hopf 代數胚的設定。
• 引入並研究適配於基代數上擬不變權重的乘子 Hopf 代數胚上的積分。
• 在該框架下建立左與右積分的存在性、唯一性與模性質。
• 構造對偶乘子 Hopf 代數胚，並證明雙重對偶性，確保雙重對偶能恢復原始物件。

提出的方法

• 引入與基代數上擬不變權重相容的正則乘子 Hopf 代數胚上的左與右積分。
• 使用卷積運算元定義模自動變換，並透過模元素將左與右積分關聯。
• 採用新方法處理代數量子群胚上的積分，將哈爾測度概念推廣至非單位元、非有限的設定。
• 透過與原始代數對偶的泛函構造對偶乘子 Hopf 代數胚，並配備由原物件導出的共乘法與乘法。
• 利用 KMS-泛函與相對張量積的雙範疇觀點來處理泛函，以確保對偶性中的相容性。
• 透過忠實性與模結構證明雙重對偶性，顯示雙重對偶構造能恢復原始代數胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在基或代數上無有限性假設的情況下，為代數量子群胚構建對偶理論？
• RQ2 何種條件可確保適配於基權重的正則乘子 Hopf 代數胚上積分的存在性與唯一性？
• RQ3 在此設定下，左與右積分如何透過模自動變換與模元素相互關聯？
• RQ4 能否在不需投影性或有限性的情況下，代數地構造出對偶乘子 Hopf 代數胚？
• RQ5 在此推廣設定下，雙重對偶同構是否成立，能否從其雙重對偶恢復原始物件？

主要发现

• 當適配於基上擬不變權重時，正則乘子 Hopf 代數胚上的左與右積分在縮放變換下唯一。
• 積分具有模自動變換，將乘子 Hopf 代數的模理論推廣至代數胚設定。
• 左與右積分透過模元素關聯，該元素編碼了左與右不變性之間的非對稱性。
• 明確構造出對偶乘子 Hopf 代數胚，其積分與共乘法均由原始物件導出。
• 雙重對偶成立：原始代數胚的雙重對偶自然同構於原始物件，從而確立了完整的對偶性。
• 該構造無需有限性或 Frobenius 假設，將對偶性推廣至無限維代數量子群胚。