[论文解读] Regular Polynomial Endomorphisms of C^k

Eric Bedford, Mattias Jönsson|ArXiv.org|May 18, 1998

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文研究了在 C^k（k ≥ 2）上的正则多项式自同态的动力学，聚焦于度数至少为 2 且可连续延拓至射影空间 P^k 的映射。通过分析无穷远处附近的性质并利用外部射线，作者在平衡当前的动态与黎曼球面上更简单系统之间建立了半共轭关系，从而详细描述了拟平衡测度以及有界轨道点集 K 的结构。

ABSTRACT

We study the dynamics of polynomial mappings f:C^k to C^k of degree at least 2 that extend continuously to projective space P^k. Our approach is to study the dynamics near the hyperplane at infinity and then making a descent to K --- the set of points with bounded orbits --- via external rays.

研究动机与目标

• 理解在 C^k 上可连续延拓至 P^k 的多项式自同态的全局动力学。
• 分析这些映射在无穷远超平面附近的性质，该区域是理解全局动力学的关键。
• 利用外部射线，在平衡当前的动态与黎曼球面上的更简单系统之间构造半共轭映射。
• 通过无穷远处的动力学与射线结构，描述有界轨道点集 K 的结构。
• 建立与平衡当前相关的拟平衡测度的存在性及其性质。

提出的方法

• 使用 C^k 到 P^k 的自然紧化以研究无穷远处的动力学。
• 应用外部射线——复动力系统中等势曲线与射线的广义类比——将无穷远处的动力学与集合 K 的内部联系起来。
• 构建从平衡当前支集到黎曼球面的半共轭映射，利用无穷远处的动力学。
• 分析标准测度在黎曼球面上的拉回，以获得 K 上的拟平衡测度。
• 运用多重次调和理论及与动力学次数相关的平衡当前，描述不变测度。
• 研究格林函数及其水平集，以理解吸引域与集合 K 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 C^k 上度数 ≥2 的多项式自同态在延拓至 P^k 时，特别是在无穷远超平面附近的行为如何？
• RQ2 外部射线在将无穷远处的动力学与有界轨道点集 K 的动力学联系起来的过程中起什么作用？
• RQ3 能否在平衡当前的动力学与黎曼球面上更简单系统之间构造半共轭？
• RQ4 集合 K 上的拟平衡测度具有何种结构，其与平衡当前有何关联？
• RQ5 通过测度的拉回，K 上的动力学如何与无穷远处的动力学相关联？

主要发现

• 平衡当前支集上的动力学通过由外部射线构造的映射，与黎曼球面上的动力学半共轭。
• 有界轨道点集 K 上的拟平衡测度是标准测度在半共轭映射下的拉回。
• 集合 K 被表征为半共轭映射下与相关有理映射在 P^1 上的朱利亚集的原像。
• 与自同态相关的格林函数的水平集被外部射线所叶状分解，推广了一复变情形下的经典射线图像。
• 平衡当前在自同态下不变，且其支集包含于周期点集的闭包中。
• K 上的动力学在拓扑上共轭于黎曼球面上的斜积系统，纤维对应于射线。