[论文解读] Regularity of A Complex Monge-Ampère Equation on Hermitian Manifolds

Xiaolan Nie|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文在背景度量满足解稳定性条件的前提下，建立了紧致Hermitian流形上有界 $\tilde{\omega}$-强拟凸解到复Monge-Ampère方程的光滑性。通过扩展抛物流估计并应用最大值原理，证明了弱解的光滑性，将Székelyhidi与Tosatti在Kähler几何中的结果推广至Hermitian几何。

ABSTRACT

We obtain higher order estimates for a parabolic flow on a compact Hermitian manifold. As an application, we prove that a bounded $\hatω$-plurisubharmonic solution of an elliptic complex Monge-Ampère equation is smooth under an assumption on the background Hermitian metric $\hatω$. This generalizes a result of Székelyhidi and Tosatti on Kähler manifolds.

研究动机与目标

• 将Székelyhidi与Tosatti在Kähler流形上的正则性结果推广至紧致Hermitian流形。
• 建立与Hermitian流形上复Monge-Ampère方程相关的抛物流的高阶估计。
• 在确保解稳定性的度量条件下，证明有界弱解为光滑解。
• 将抛物流的光滑化性质推广至非Kähler情形，考虑Hermitian几何中的 torsion 项。
• 为在复曲面上构造具有奇异初始Gauduchon度量的Chern-Ricci流的弱解提供基础。

提出的方法

• 通过分析紧致Hermitian流形上的演化方程 $\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \log\frac{(\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\omega}^n} + F(\varphi,z)$，将Székelyhidi与Tosatti的抛物流方法进行适应。
• 应用最大值原理，推导出抛物流的短时存在性与 $C^0$ 估计，时间界限仅依赖于 $\sup|\varphi_0|$ 与 $\sup|\dot{\varphi}_0|$。
• 通过适应Gill、Tosatti-Weinkove与Phong-S\v{\i}sem-Sturm的方法，建立 $C^2$、$C^3$ 与 $|\operatorname{Ric}|$ 估计，仔细处理Hermitian几何中的 torsion 项。
• 利用抛物Schauder估计，获得 $t \in [\epsilon, T']$ 时 $\dot{\varphi}$ 与 $\varphi_k, \varphi_{\bar{k}}$ 的 $C^{2+\alpha,1+\alpha/2}$ 估计，随后通过迭代获得所有高阶估计。
• 在假设 $\int_M (\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u)^n = \int_M \hat{\omega}^n$ 对所有有界 $\hat{\omega}$-psh 函数 $u$ 成立的前提下，应用Kołodziej的稳定性结果，以确保解的唯一性与连续性。
• 构造弱解 $\phi$ 的光滑逼近序列 $\psi_j$，通过抛物流演化它们，并证明极限 $\beta(t,z) = \lim \varphi_j$ 满足 $\dot{\beta}(t) = 0$ 对所有 $t > 0$ 成立，从而推出 $\phi = \beta(0)$ 为光滑解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Kähler流形上复Monge-Ampère方程弱解的正则性结果推广至紧致Hermitian流形？
• RQ2 Hermitian度量 $\hat{\omega}$ 需满足何种条件，才能确保解稳定性并实现正则性？
• RQ3 Hermitian几何中的 torsion 项如何影响抛物流的高阶估计？
• RQ4 在缺乏Kähler结构的情况下，抛物流方法能否用于证明弱解的光滑性？
• RQ5 在何种条件下，可通过具有奇异初始数据的弱解将Chern-Ricci流延拓至奇异时刻之后？

主要发现

• 若度量 $\hat{\omega}$ 满足对所有有界 $\hat{\omega}$-psh 函数 $u$ 都有 $\int_M (\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u)^n = \int_M \hat{\omega}^n$，则紧致Hermitian流形上复Monge-Ampère方程 $(\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\phi)^n = e^{-F(\phi,z)}\hat{\omega}^n$ 的有界弱解 $\phi$ 为光滑解。
• 抛物流 $\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \log\frac{(\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\omega}^n} + F(\varphi,z)$ 在某个 $T>0$ 的区间 $[0,T]$ 上存在光滑解，其中 $T$ 仅依赖于 $\sup|\varphi_0|$ 与 $\sup|\dot{\varphi}_0|$。
• 通过抛物Schauder估计获得抛物流的高阶估计，估计值在 $t \to 0^+$ 时趋于无穷，但在任意 $\epsilon > 0$ 的区间 $[\epsilon,T]$ 上保持一致。
• 从 $\phi$ 的光滑逼近 $\psi_j$ 启动的抛物流的极限满足 $\dot{\beta}(t) = 0$ 对所有 $t > 0$ 成立，从而推出 $\beta(t) = \beta(0)$ 为光滑函数，故 $\phi = \beta(0)$ 为光滑解。
• 当 $\partial\bar{\partial}\hat{\omega}^k = 0$ 对 $k=1,2$ 成立时（如Guan-Li条件），条件 $\int_M (\hat{\omega}+\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u)^n = \int_M \hat{\omega}^n$ 成立。
• 该结果表明，Chern-Ricci流可能通过向下推动极限当前，实现对奇异时刻的延拓，支持了Tosatti与Weinkove关于复曲面上非坍缩流的猜想。