[论文解读] Regularity of Kähler-Ricci flows on Fano manifolds

Gang Tian, Zhenlei Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 45被引用 15

一句话总结

该论文在假设 $L^p$-范数下 Ricci 曲率对 $p > n$ 一致有界的情况下，为 Fano 流形上的 Kähler-Ricci 流建立了正则性理论。利用该理论，证明了极限空间在外层奇异集的余维数至少为 4 的区域是光滑的，并且在该区域平滑收敛到一个收缩型 Kähler-Ricci 梳场，从而解决了三维情形下的一个长期悬而未决的猜想，并为 Fano 3-流形的 Yau-Tian-Donaldson 猜想提供了新的证明。

ABSTRACT

In this paper, we will establish a regularity theory for the Kähler-Ricci flow on Fano $n$-manifolds with Ricci curvature bounded in $L^p$-norm for some $p > n$. Using this regularity theory, we will also solve a long-standing conjecture for dimension 3. As an application, we give a new proof of the Yau-Tian-Donaldson conjecture for Fano 3-manifolds. The results have been announced in \cite{TiZh12b}.

研究动机与目标

• 在 $L^p$-有界 Ricci 曲率（$p > n$）条件下，为 Fano 流形上的 Kähler-Ricci 流建立正则性理论。
• 通过证明在余维数 $\geq 4$ 的奇异集外，流平滑收敛到一个收缩型 Kähler-Ricci 梳场，从而在三维情形下解决 Hamilton-Tian 猜想。
• 利用正则性理论，为 Fano 3-流形提供 Yau-Tian-Donaldson 猜想的新证明。

提出的方法

• 利用 Perelman 的伪局部定理控制积分 Ricci 曲率有界下的局部几何。
• 应用广义正则性理论，适用于积分有界 Ricci 曲率的流形，扩展了 Cheeger-Colding 和 Cheeger-Colding-Tian 的结果。
• 使用热核估计和抛物逼近方法，分析流下 Ricci 潜势和曲率的行为。
• 利用线段不等式和近似刚性结构，在近乎欧几里得区域中推导出 $C^\alpha$ 正则性。
• 应用部分 $C^0$-估计猜想，将微分几何收敛性与射影空间中的代数收敛性联系起来。
• 建立 $K$-能量的统一有界性，并利用梯度估计在极限空间上构造全纯向量场。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Fano 流形上的 Kähler-Ricci 流在外层奇异集外平滑收敛到 Kähler-Ricci 梳场？
• RQ2 能否利用积分 Ricci 曲率有界性在三维情形下解决 Hamilton-Tian 猜想？
• RQ3 当 $p > n$ 时，Ricci 曲率的 $L^p$-有界性是否意味着极限空间正则部分的 $C^\infty$-平滑收敛？
• RQ4 在这些曲率有界条件下，$K$-能量沿 Kähler-Ricci 流如何演化？其对稳定性有何含义？
• RQ5 极限空间上是否存在非平凡全纯向量场，可用于排除非 Kähler-Einstein 极限？

主要发现

• 在 $L^p$-有界 Ricci 曲率（$p > n$）条件下，极限空间 $(M_{\infty}, d)$ 在一个实余维数至少为 4 的闭奇异集 $\mathcal{S}$ 外是光滑的。
• 度量 $g(t_i)$ 在 $M_\infty \setminus \mathcal{S}$ 上以 $C^\infty$-拓扑收敛到一个光滑的 Kähler-Ricci 梳场 $g_\infty$。
• 沿流，$K$-能量有下界，这意味着若极限光滑，则其必为 Kähler-Einstein。
• 当 $M_\infty \neq M$ 时，$M_\infty$ 上存在非平凡全纯向量场，这与 K-稳定性矛盾，从而强制 $M_\infty = M$，因此 Kähler-Einstein 度量存在。
• 流在 Cheeger-Gromov 拓扑下全局收敛到一个收缩型 Kähler-Ricci 梳场，从而在三维情形下证实了 Hamilton-Tian 猜想。
• 在流下建立了 Ricci 曲率的 $L^4$-有界性，支持正则性理论，并使得 $C^\alpha$-正则性估计得以应用。