[论文解读] Regularity of Local times associated to Volterra-Lévy processes and path-wise regularization of stochastic differential equations

Fabian A. Harang, Chengcheng Ling|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 6

一句话总结

该论文建立了伏尔泰拉-莱维过程局部时的几乎必然空间正则性，表明其与伏尔泰拉核的奇异度成反比。该结果被用于证明当漂移项为贝索夫分布时，受此类过程扰动的随机微分方程的路径连续解的存在性、唯一性及光滑性，通过噪声正则化方法，结合随机缝合引理与非线性杨积分实现。

ABSTRACT

We investigate the space-time regularity of the local time associated to Volterra-Lévy processes, including Volterra processes driven by $α$-stable processes for $α\in(0,2]$. We show that the spatial regularity of the local time for Volterra-Lévy process is $P$-a.s. inverse proportionally to the singularity of the associated Volterra kernel. We apply our results to the investigation of path-wise regularizing effects obtained by perturba\Ption of ODEs by a Volterra-Lévy process which has sufficiently regular local time. Following along the lines of [15], we show existence, uniqueness and differentiablility of the flow associated to such equations.

研究动机与目标

• 研究与伏尔泰拉-莱维过程相关的时空正则性，包括由 α ∈ (0,2] 的 α 稳定莱维过程驱动的情形。
• 建立局部时的空间正则性几乎必然与伏尔泰拉核的奇异度成反比。
• 将正则性结果应用于证明受伏尔泰拉-莱维过程扰动的随机微分方程在不规则漂移条件下的路径连续解的存在性、唯一性与可微性。
• 通过随机缝合引理与非线性杨积分，将噪声正则化现象推广至非高斯、非马氏的伏尔泰拉-莱维过程。

提出的方法

• 为伏尔泰拉-莱维过程量身定制局部非确定性条件，以控制其局部时的正则性。
• 应用随机缝合引理，利用核的奇异度与莱维过程的性质，证明局部时的索伯列夫正则性。
• 利用嵌入定理，推导出局部时属于广泛的贝索夫空间。
• 通过证明伏尔泰拉-莱维过程 z_t 的局部时足够正则，从而建立形如 dx_t = b(x_t)dt + dz_t 的随机微分方程的路径连续解的存在性与唯一性。
• 利用非线性杨积分理论处理当 b 为贝索夫分布且 z 具有正则局部时的积分 ∫b(x_s)dz_s。
• 基于霍尔德型空间中的压缩映射不动点论证，证明初值 ξ 对应的流映射 ξ ↦ x_t(ξ) 的存在性与光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 伏尔泰拉核的奇异度如何影响伏尔泰拉-莱维过程局部时的空间正则性？
• RQ2 噪声正则化现象是否可从高斯过程推广至非高斯、非马氏的伏尔泰拉-莱维过程？
• RQ3 伏尔泰拉-莱维过程的局部时在何种条件下存在且具备足够正则性，以实现对随机微分方程的路径正则化？
• RQ4 当随机微分方程中的漂移项 b 在贝索夫空间中为分布时，其不规则程度在何种程度上仍可保证唯一且可微的解？
• RQ5 随机缝合引理在证明非高斯伏尔泰拉过程局部时正则性中起到何种作用？

主要发现

• 与伏尔泰拉-莱维过程相关的局部时几乎必然具有空间正则性，其正则性与伏尔泰拉核的奇异度成反比。
• 局部时属于索伯列夫空间，并通过嵌入定理属于广泛的贝索夫空间，确保其在积分应用中的充分光滑性。
• 当伏尔泰拉-莱维过程 z 的局部时足够正则时，随机微分方程 dx_t = b(x_t)dt + dz_t 几乎必然存在唯一解，即使 b 为贝索夫分布。
• 若 z 的局部时足够正则，则解流映射 ξ ↦ x_t(ξ) 关于初值 ξ 无限次可微。
• 随机缝合引理成功应用于证明非高斯伏尔泰拉过程局部时的正则性，将先前仅适用于高斯情形的结果推广至更广范围。
• 在霍尔德型空间中基于压缩映射的不动点论证，确认了扰动随机微分方程解的存在性与路径唯一性，且压缩常数与初值无关，因其被积函数的导数有界。