[论文解读] Regularity of the time constant for a supercritical Bernoulli percolation

Barbara Dembin|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用 10

一句话总结

本文建立了超临界伯努利渗滤中时间常数 μₚ 的 Hölder 型正则性，表明映射 p ↦ μₚ 连续，且具有对数型模连续性：当 p, q 接近 1 时，|μₚ(x) − μ_q(x)| ≤ C‖x‖₁(q−p)|log(q−p)|。该结果通过重整化技术及对绕 p-闭合边的绕行路径的控制获得，将已知的连续性结果推广至超临界区域的精确正则性估计。

ABSTRACT

We consider an i.i.d. supercritical bond percolation on Z^d , every edge is open with a probability p > p\\_c (d), where p\\_c (d) denotes the critical parameter for this percolation. We know that there exists almost surely a unique infinite open cluster C\\_p [11]. We are interested in the regularity properties of the chemical distance for supercritical Bernoulli percolation. The chemical distance between two points x, y $\\in$ C\\_p corresponds to the length of the shortest path in C\\_p joining the two points. The chemical distance between 0 and nx grows asymptotically like n$\\mu$\\_p (x). We aim to study the regularity properties of the map p $\ ightarrow$ $\\mu$\\_p in the supercritical regime. This may be seen as a special case of first passage percolation where the distribution of the passage time is G\\_p = p$\\delta$\\_1 + (1 -- p)$\\delta$\\_$\\infty$ , p > p c (d). It is already known that the map p $\ ightarrow$ $\\mu$\\_p is continuous (see [10]).

研究动机与目标

• 研究 ℤᵈ 上超临界伯努利渗滤中化学距离时间常数 μₚ 的正则性性质。
• 将已知的 p ↦ μₚ 连续性结果推广至超临界区域的定量模连续性。
• 分析时间常数 μₚ 如何随渗滤参数 p > p_c(d) 变化，特别是当 p 接近 1 时。
• 通过重整化和绕行构造，控制 p-闭合边（无限通过时间）对测地线路径的影响。

提出的方法

• 使用重整化方案将 ℤᵈ 分解为方块，并控制 p-闭合边对最短路径的影响。
• 应用截断与绕行技术处理具有无限通过时间的边，用绕集群的有限长度路径替代它们。
• 利用簇大小和边界长度的组合估计，控制绕 p-闭合簇的绕行路径长度。
• 通过等周常数和体积增长，建立对测地线所经过方块数量的递归控制。
• 通过比较通过时间并利用 ℤᵈ 上的 ℓ¹ 范数，推导出 |μₚ(x) − μ_q(x)| 的界。
• 利用 μₚ 在球面上的一致连续性以及下界 μₚ^min > 0，控制 μₚ 和 μ_q 单位球之间的 Hausdorff 距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超临界区域中，时间常数 μₚ 如何随渗滤参数 p 变化？
• RQ2 p ↦ μₚ 的连续性能否加强为定量的模连续性？
• RQ3 p-闭合边在多大程度上扭曲测地线路径？其影响能否被定量控制？
• RQ4 为何正则性估计中会出现对数项 |log(q−p)|？能否实现利普希茨连续性？

主要发现

• 映射 p ↦ μₚ 具有 Hölder 连续性，指数为 1/2，即当 p, q ∈ [p₀, 1] 且 p₀ > p_c(d) 时，|μₚ(x) − μ_q(x)| ≤ C‖x‖₁(q−p)|log(q−p)|。
• 正则性估计是精确的，因为当前方法无法避免 p-闭合边与绕行长度之间的相关性，故无法实现利普希茨连续性。
• 范数 μₚ 和 μ_q 的单位球之间的 Hausdorff 距离满足 d_H(ℬ_μₚ, ℬ_μ_q) ≤ C(q−p)|log(q−p)|，其中 p, q ∈ [p₀, 1]。
• 时间常数 μₚ 关于 p 是非增的，且对所有 x ∈ ℤᵈ 和 p > p_c(d)，有 μₚ(x) ≤ ‖x‖₁ μₚ(e₁)。
• 证明依赖于重整化方案以及对绕 p-闭合边簇的绕行路径的控制，其界依赖于等周常数和体积增长。
• 对数项源于方块尺寸的标度以及测地线所经过的方块数量，而非重整化本身。