[论文解读] Regularity on abelian varieties III: further applications

Giuseppe Pareschi, Mihnea Popa|ArXiv.org|Jun 5, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文将阿贝尔簇上的 M-正则性理论推广，以通过 M-正则性指标建立 Seshadri 常数的新界，证明雅可比簇上 Picard 簧的消去定理，并推导半同态向量丛上乘法映射整体生成与满射性的数值准则。其关键贡献是利用 Theta 正则性与陈类条件，提出半同态丛上乘法映射满射性的数值准则。

ABSTRACT

In the present sequel to our previous two papers on regularity on abelian varieties, we give a number of new applications of the theory of $M$-regularity to the study of Seshadri constants, Picard bundles, pluricanonical maps on irregular varieties, and semihomogeneous vector bundles.

研究动机与目标

• 在阿贝尔簇上建立 Seshadri 常数与 M-正则性指标之间的联系。
• 证明雅可比簇上扭曲 Picard 簧的高阶上同调的消去定理。
• 为半同态向量丛上的整体生成与乘法映射满射性发展数值准则。
• 将关于高阶 canonical 映射的有效结果推广至 Albanese 维数最大的不规则代数簇。
• 通过斜 Pontrjagin 乘积与 Theta 正则性，提供乘法映射满射性的余调性准则。

提出的方法

• 使用傅里叶-Mukai 变换与导范畴技术，分析阿贝尔簇上层的上同调性质。
• 应用 [PP1] 中的 M-正则性准则及 [PP2] §3 的技术，通过 M-正则性指标界定 Seshadri 常数。
• 利用行列式簇的 Eagon-Northcott 分解，计算 Picard 簧的强 Theta 正则性。
• 利用层的斜 Pontrjagin 乘积，将乘法映射的满射性问题约化为上同调消去条件。
• 应用指标定理与同构映射技术，分析半同态丛张量积的高阶上同调消去性。
• 使用阿贝尔簇上的 Castelnuovo-Mumford 引理与 [PP1] 中推广的定理 2.3，证明整体截面映射的满射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 M-正则性指标界定阿贝尔簇上极化线丛的 Seshadri 常数？
• RQ2 当 Picard 簧被 theta 除子或其平移扭曲时，其上同调性质由什么控制？
• RQ3 何种数值条件可确保半同态向量丛整体截面乘法映射的满射性？
• RQ4 能否通过 M-正则性，为 Albanese 维数最大的不规则代数簇导出 pluricanonical 映射的有效界？
• RQ5 Theta 正则性在刻画阿贝尔簇上向量丛的整体生成与正常生成性方面起何作用？

主要发现

• 阿贝尔簇上极化线丛 L 的 Seshadri 常数由 L 的 M-正则性指标下界控制，建立了局部正性与上同调正则性之间的直接联系。
• 将 Picard 簧与 theta 除子或其平移进行扭曲，可使其所有高阶上同调消失，从而证明了这些丛的强消去定理。
• 对于满足 I.T. 且指标为 0 的半同态丛 E 与 F，若满足 (1/r_F)·c₁(F(−Θ)) + (1/r′_E)·φ*Θc₁(Ẽ(−Θ)) > 0，则乘法映射 H⁰(E) ⊗ H⁰(tₓ*F) → H⁰(E ⊗ tₓ*F) 是满射的。
• 通过一般性准则（结合 Castelnuovo-Mumford 引理与上同调消去性），可保证 (−1)-Θ-正则向量丛上乘法映射的满射性。
• 每个 (−1)-Θ-正则向量丛均为正常生成的，从而推广了关于极化线丛与 Verlinde 簧的射影正常性结果。
• 乘法映射满射性的证明依赖于通过同构映射将问题约化为拉回张量积的上同调消去性，其关键在于陈类的数值正性。