[论文解读] Regularity results for pluriclosed flow

Jeff Streets, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 15

一句话总结

该论文通过Bismut联络将非凯勒复流形上的复闭流（pluriclosed flow）识别为Schrödinger算子最低特征值的梯度流，从而建立了改进的长时间存在性与正则性结果。证明了有界Bismut Ricci曲率可保证奇点后的光滑延拓，并表明该流在弦理论中对应于B场的重整化群流，由此导出一个膨胀型熵泛函，意味着呼吸解（breather solutions）为梯度孤立子（gradient solitons）。

ABSTRACT

In prior work the authors introduced a parabolic flow of pluriclosed metrics. Here we give improved regularity results for solutions to this equation. Furthermore, we exhibit this equation as the gradient flow of the lowest eigenvalue of a certain Schrödinger operator, and show the existence of an expanding entropy functional for this flow. Finally, we motivate a conjectural picture of the optimal regularity results for this flow, and discuss some of the consequences.

研究动机与目标

• 在具有非凯勒度量的复流形上，建立更精细的长时间存在性定理。
• 通过Bismut联络，证明复闭流是Schrödinger算子最低特征值的梯度流。
• 为该流构造一个膨胀型熵泛函，暗示其单调性与强长时间行为。
• 提出关于最优正则性与奇点形成机制的猜想性图像，并探讨其对Class VII+型曲面拓扑的启示。
• 通过将该流与数学物理联系起来，识别其为非线性σ模型中B场的重整化群流。

提出的方法

• 作者采用Bismut联络作为自然几何框架来分析复闭流，取代Chern联络与Levi-Civita联络。
• 将流表示为泛函λ(g,T)的梯度流，其中λ(g,T)定义为在归一化函数上取下确界的一类加权能量泛函。
• 利用Bismut联络的曲率P，将流重写为∂ₜω = −P¹¹，其中P¹¹为Bismut曲率的(1,1)分量。
• 为该流推导出一个膨胀型熵泛函，其行为类似于Ricci流中Perelman的熵泛函，且在解上单调。
• 通过分析Bismut Ricci曲率的演化，证明若|P¹¹|在时间上的L¹范数有界，则解可光滑延拓过奇点。
• 对全纯形式的Bochner公式应用最大值原理，推导出静态度量下的消去定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 复闭流是否具有改进的长时间存在性准则，而无需要求 torsion 及其协变导数有界？
• RQ2 复闭流能否被解释为某个几何泛函的梯度流？若是，是哪一个？
• RQ3 该流是否具有类似于Ricci流中Perelman熵泛函的单调熵泛函？
• RQ4 复闭流与弦理论中带B场的重整化群流之间有何关系？
• RQ5 该流在Class VII+型曲面上的行为对曲面的拓扑与几何有何影响？

主要发现

• 证明复闭流是Schrödinger算子最低特征值λ(g,T)的梯度流，该特征值定义在度量与模微分同胚的闭3-形式空间上。
• 为该流构造出一个膨胀型熵泛函，其在解上单调递减，从而暗示强长时间正则性。
• 若在区间[0,τ)上对sup|P¹¹|的积分有限，则复闭流的解可在时间τ处光滑延拓，此结果类似于Ricci流中Sesum的定理。
• 证明了该流的呼吸解为梯度孤立子，此结果源于熵泛函的单调性与梯度流结构。
• 该流被识别为非线性σ模型中B场的重整化群流，从而将其与弦理论联系起来，并提供了物理诠释。
• 对于Aeppli上同调中c₁ = 0或c₁ > 0的紧致复流形，若静态解满足hⁿ⁻¹,⁰ = 0，则除非度量为凯勒度量，否则该条件成立，暗示强刚性。