[论文解读] Regularization by noise for stochastic Hamilton-Jacobi equations

Paul Gassiat, Benjamin Gess|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文建立了由粗糙信号驱动的随机哈密顿-雅可比方程解的二阶导数的路径依$ L^\infty $界，表明噪声通过防止二阶导数爆破而产生正则化效应。该界通过反射SDE的解表示，并被证明是最优的，其应用涵盖随机$p$-拉普拉斯方程和全变差流方程。

ABSTRACT

We study regularizing effects of nonlinear stochastic perturbations for fully nonlinear PDE. More precisely, path-by-path $L^{\infty}$ bounds for the second derivative of solutions to such PDE are shown. These bounds are expressed as solutions to reflected SDE and are shown to be optimal.

研究动机与目标

• 分析非线性随机扰动对完全非线性PDE，特别是哈密顿-雅可比方程的正则化效应。
• 在随机粗糙路径输入下，推导解的二阶导数的精确路径依$L^\infty$界。
• 证明噪声可防止二阶导数在有限时间内爆破，而这是确定性情况下通常发生的现象。
• 通过显式构造与确定性对应结果的比较，证明所导出边界的最优性。
• 将结果推广至随机$p$-拉普拉斯方程和分数布朗运动驱动的方程，表明二阶导数几乎必然有界。

提出的方法

• 利用带粗糙路径输入$\xi$的完全非线性SPDE的随机粘性解理论。
• 应用粘性解的比较原理和稳定性结果，推导$D^2u$的界。
• 引入反射SDE $L^{\pm}(t)$，定义为$ dL^{\pm} = V_F(L^{\pm})dt \pm d\xi(t) $，$ L^{\pm} \geq 0 $，初始值为$ 1/\|D^2u_0\|_{L^\infty} $的极大连续解。
• 推导关键界$ \|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq 1/(L^+(t) \wedge L^-(t)) $，对每个样本路径均成立。
• 使用光滑初值的逼近方案及粘性解收敛性来证明结果的合理性。
• 在$p$-拉普拉斯情形下，采用动能公式和比较原理，建立噪声下的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机扰动能否通过防止二阶导数爆破，对完全非线性哈密顿-雅可比方程的解产生正则化作用？
• RQ2 在噪声路径$\xi$的表达下，$\|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty}$的精确路径依界是什么？
• RQ3 所导出的界是否最优？在随机$p$-拉普拉斯方程等显式模型中能否达到？
• RQ4 噪声强度$\sigma$如何影响解的正则性？是否存在临界阈值？
• RQ5 对于更粗糙的噪声，如赫斯特参数$H \in (0,1)$的分数布朗运动，该正则化效应是否仍然成立？

主要发现

• 对于$m \geq 3$的随机$p$-拉普拉斯方程，若$\sigma^2 > 2(m-1)(m-2)R^{m-3}$，其中$R = \|\partial_x u_0\|_{L^\infty}$，则对所有$t > 0$，有$\|\partial_{xx}u(t)\|_{L^\infty} < \infty$几乎必然成立。
• 临界噪声强度是最优的：当$m = 3$时，若$\sigma^2 \leq 4$，则对所有大$t$，有$\|\partial_{xx}u(t)\|_{L^\infty} = \infty$几乎必然成立。
• 界$\|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq 1/(L^+(t) \wedge L^-(t))$是紧的，在$m=3$的$p$-拉普拉斯情形下可取等。
• 对于分数布朗运动$\beta^H$驱动的随机哈密顿-雅可比方程，$\|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty} < \infty$对所有$t > 0$几乎必然成立，尽管确定性版本会形成激波。
• 对于一般连续路径$\xi$，界为$L^+(t) = \xi_t - \min_{s \in [0,t]} \xi_s$，$L^-(t) = \max_{s \in [0,t]} \xi_s - \xi_t$，从而得到$\|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq 1/(L^+(t) \wedge L^-(t))$。
• 对于布朗运动$\beta$，$\|Du(t,\cdot)\|_{L^\infty}$的衰减速率为$t^{-1/4}$，与先前工作结果一致。