[论文解读] Regularization with Metric Double Integrals of Functions with Values in a Set of High-Dimensional Vectors

René Ciak, Melanie Hirzmann+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 35被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于度量双重积分的无导数正则化泛函，用于涉及取值于高维向量集合的函数的变分逆问题与成像问题。该方法推广了Bourgain等人提出的Sobolev半范数近似，证明了最小化解的存在性，并在向量值函数情况下建立了稳定性与收敛性。

ABSTRACT

We present an approach for variational regularization of inverse and imaging problems for recovering functions with values in a set of vectors. We introduce regularization functionals, which are derivative-free double integrals of such functions. These regularization functionals are motivated from double integrals, which approximate Sobolev semi-norms of intensity functions. These were introduced in Bourgain, Brezis and Mironescu, Another Look at Sobolev Spaces. In: Optimal Control and Partial Differential Equations-Innovations and Applications, IOS press, Amsterdam, 2001. For the proposed regularization functionals we prove existence of minimizers as well as a stability and convergence result for functions with values in a set of vectors.

研究动机与目标

• 为涉及取值于高维向量集合的函数的逆问题与成像问题开发正则化泛函。
• 通过双重积分将Sobolev半范数近似推广至无导数正则化。
• 在向量值设定下确保所提泛函最小化解的存在性。
• 在适当条件下建立稳定性和收敛性性质。
• 通过基于度量的双重积分，将标量强度函数的理论保证扩展至向量值函数。

提出的方法

• 将正则化泛函定义为函数在不同点取值之间度量距离的双重积分。
• 采用基于度量的公式化方法，避免显式使用导数，从而适用于非光滑或离散的向量值函数。
• 将Bourgain、Brezis与Mironescu提出的Sobolev半范数近似双重积分框架，适配至向量值设定。
• 采用变分方法，在满足数据保真项的约束下最小化正则化泛函。
• 利用紧致性与下确界半连续性论证，证明最小化解的存在性。
• 通过在正则化参数趋于零时的渐近分析，建立稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于双重积分的正则化能否推广至取值于高维向量集合的函数？
• RQ2 在向量值设定下，如何在不依赖导数的情况下适配Sobolev半范数近似？
• RQ3 在何种条件下可确保此类正则化泛函最小化解的存在性？
• RQ4 稳定性与收敛性性质如何从标量函数推广至向量值函数？
• RQ5 度量在定义向量值函数双重积分正则化中的作用是什么？

主要发现

• 所提出的正则化泛函为无导数形式，基于度量双重积分，可在不依赖可微性的情况下对向量值函数进行正则化。
• 在数据与函数空间的标准假设下，所提正则化泛函的最小化解存在性已得证。
• 最小化解的稳定性已针对数据与正则化参数的扰动建立。
• 在适当的紧致性与一致性条件下，当正则化参数趋于零时，最小化解的收敛性已得到证明。
• 该框架通过基于度量的双重积分，将经典Sobolev半范数近似推广至向量值函数。
• 理论结果将双重积分正则化的适用范围扩展至具有向量值解的逆问题与成像问题。