[论文解读] Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up

Kristian Uldall Kristiansen, S. J. Hogan|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 29被引用 5

一句话总结

该论文使用爆破方法严格分析了平面分段光滑（PWS）系统中余维一双 fold 分岔的正则化问题，重点关注奇异拐杖轨线、伪平衡点和极限环。结果表明，正则化可诱导极限环的鞍结分岔，且霍普夫分岔的临界性取决于正则化函数，数值上观察到了拐杖轨线爆炸现象。

ABSTRACT

We use blowup to study the regularization of codimension one two-fold singularities in planar piecewise smooth (PWS) dynamical systems. We focus on singular canards, pseudo-equlibria and limit cycles that can occur in the PWS system. Using the regularization of Sotomayor and Teixeira \cite{Sotomayor96}, we show rigorously how singular canards can persist and how the bifurcation of pseudo-equilibria is related to bifurcations of equilibria in the regularized system. We also show that PWS limit cycles are connected to Hopf bifurcations of the regularization. In addition, we show how regularization can create another type of limit cycle that does not appear to be present in the original PWS system. For both types of limit cycle, we show that the criticality of the Hopf bifurcation that gives rise to periodic orbits is strongly dependent on the precise form of the regularization. Finally, we analyse the limit cycles as locally unique families of periodic orbits of the regularization and connect them, when possible, to limit cycles of the PWS system. We illustrate our analysis with numerical simulations and show how the regularized system can undergo a canard explosion phenomenon.

研究动机与目标

• 为了严格理解正则化如何影响平面分段光滑（PWS）动力系统中的余维一双 fold 分岔。
• 研究在 Sotomayor–Teixeira 正则化下，奇异拐杖轨线、伪平衡点和极限环的持久性。
• 确定PWS分岔与正则化系统中标准光滑分岔之间的关系。
• 探讨正则化是否能生成原PWS系统中不存在的新动力学特征。
• 分析正则化函数在决定霍普夫分岔临界性及周期轨道鞍结分岔出现中的作用。

提出的方法

• 应用 Krupa 和 Szmolyan 的爆破方法，以解决PWS分岔处的双曲性丧失问题。
• 采用 Sotomayor–Teixeira 正则化，将切换流形替换为宽度为 $2\epsilon$ 的边界层。
• 在不同坐标图（如 $\kappa_2$）中进行局部分析，以展开双 fold 奇点附近的动力学行为。
• 通过几何奇异摄动理论，将奇异拐杖轨线、伪平衡点和极限环延续进入正则化系统。
• 使用数值延续方法（采用 AUTO）追踪周期轨道，并检测霍普夫分岔与鞍结分岔。
• 比较不同正则化函数下正则化系统的李雅普诺夫系数，以评估霍普夫分岔的临界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正则化下，PWS系统中的奇异拐杖轨线如何持久存在，其条件是什么？
• RQ2 PWS系统中伪平衡点分岔与正则化系统中平衡点分岔之间存在何种关系？
• RQ3 正则化是否能诱导出原PWS系统中不存在的新极限环？
• RQ4 正则化函数的选择如何影响正则化系统中霍普夫分岔的临界性？
• RQ5 爆破方法在解决双 fold 分岔处双曲性丧失问题中起什么作用？

主要发现

• 奇异拐杖轨线在正则化系统中持续存在，其拐杖值移动至 $\mu_{2,c}^{s} \approx -0.12188\sqrt{\epsilon} + \mathcal{O}(\epsilon)$。
• PWS系统中伪平衡点分岔对应于正则化系统中的标准平衡点分岔。
• PWS极限环与正则化系统中的霍普夫分岔相关联，周期轨道在 $\mu_2 \approx -1.22369 \times 10^{-2}$ 附近经历拐杖轨线爆炸。
• 正则化可诱导出原PWS系统中不存在的极限环鞍结分岔。
• 霍普夫分岔的临界性取决于正则化函数，不同选择下可能得到相反的李雅普诺夫系数 $a_2^l = -5/8$ 和 $a_2^c = 7/32$。
• PWS系统中奇异周期轨线 $VI_3$ 是正则化系统中周期轨道的极限，其稳定性由不变量 $\Delta_{VI_3}$ 决定。