[论文解读] Regularized arrangements of cellular complexes

Alberto Paoluzzi, Vadim Shapiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于在2D和3D空间中组合细胞复形的正则化排列算法，采用基于线性代数表示法（LAR）的拓扑合并策略，以最小化细胞碎片化。该方法通过迭代构建边界算子和余边界算子的链复形，计算出完整的细胞分解，从而实现对复杂模型（如网格、B-Rep和体积数据）的布尔运算与几何运算的高效GPGPU加速计算。

ABSTRACT

In this paper we propose a novel algorithm to combine two or more cellular complexes, providing a minimal fragmentation of the cells of the resulting complex. We introduce here the idea of arrangement generated by a collection of cellular complexes, producing a cellular decomposition of the embedding space. The algorithm that executes this computation is called \emph{Merge} of complexes. The arrangements of line segments in 2D and polygons in 3D are special cases, as well as the combination of closed triangulated surfaces or meshed models. This algorithm has several important applications, including Boolean and other set operations over large geometric models, the extraction of solid models of biomedical structures at the cellular scale, the detailed geometric modeling of buildings, the combination of 3D meshes, and the repair of graphical models. The algorithm is efficiently implemented using the Linear Algebraic Representation (LAR) of argument complexes, i.e., on sparse representation of binary characteristic matrices of $d$-cell bases, well-suited for implementation in last generation accelerators and GPGPU applications.

研究动机与目标

• 开发一种在2D和3D空间中组合多个细胞复形时实现最小碎片化的算法。
• 计算由输入复形所诱导的嵌入空间的正则化细胞分解。
• 实现对大型几何模型（包括网格和体积数据）的布尔运算与集合运算的高效计算。
• 通过完整链复形的构建（包括边界算子和余边界算子）支持拓扑推理。
• 在LAR框架下，使用稀疏二值特征矩阵提供GPGPU友好的实现。

提出的方法

• 该算法通过基于链复形构建的过滤过程，从 $k=0$ 到 $d$ 迭代构建 $k$-骨架 $X_k$，计算排列 $\mathcal{A}(\mathcal{S})$。
• 采用线性代数表示法（LAR）将 $d$-细胞存储为稀疏二值矩阵，从而支持高效的稀疏矩阵运算。
• 边界算子 $\partial_d$ 按逆序计算，从 $\partial_1$ 开始，逐步构建至 $\partial_d$，利用余边界算子 $\delta_{d-1} = \partial_d^\top$。
• 使用拓扑包裹法识别并构建 $d$-细胞，确保拓扑一致性。
• 通过稀疏矩阵乘法 $M_d M_d^\top$ 计算 $d$-细胞（如四面体）之间的邻接关系，非零条目表示共享的面。
• 通过移除不包含在任何 $d$-细胞中的所有细胞，确保输出为正则化形式，从而消除低维伪影。

实验结果

研究问题

• RQ1 当组合多个细胞复形时，如何计算 $\mathbb{E}^d$ 的细胞分解以实现最小碎片化？
• RQ2 使用稀疏数据结构表示并计算几何排列的完整链复形时，最高效的方法是什么？
• RQ3 在合并非流形与流形细胞复形时，如何保持拓扑一致性？
• RQ4 能否通过稀疏矩阵运算在现代加速器上高效并行化几何排列的计算？
• RQ5 对偶余链复形在实现输出排列中稳健且完整的拓扑推理中起到什么作用？

主要发现

• 该算法通过计算完整链复形 $C_\bullet$（包括所有边界算子和余边界算子）生成正则化细胞复形 $X = \mathcal{A}(\mathcal{S})$。
• 在LAR中使用稀疏特征矩阵可实现高效的GPGPU加速计算，尤其通过SpMSpM运算实现邻接查询。
• 3D四面体之间的邻接关系通过 $M_3 M_3^\top$ 计算，非零条目表示共享的三角形面。
• 该方法支持广泛的输入类型，包括线段、多边形、网格、B-Rep和体积图像，适用于2D和3D。
• 输出在拓扑上一致且完整，所有 $k$-细胞（$k=0,1,2,3$）显式表示，并通过边界算子相互连接。
• 该方法可对复杂模型（包括生物医学结构和建筑网格）实现稳健的布尔运算与集合运算，且几何碎片化极小。