[论文解读] Reinhardt cardinals and non-definability

Farmer Schlutzenberg|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Advanced Topology and Set Theory被引用 4

一句话总结

本文研究了在 ZF 和 ZF₂ 中基本嵌入的不可定义性，证明了 Reinhardt 卡尔迪纳尔蕴含 $ V \neq \mathrm{HOD}(X) $，并表明即使迭代过程变为完全元素嵌入，$ \Sigma_1 $-元素嵌入 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 也无法从参数定义。本文建立了对进入 $ V_{\delta+1} $ 的嵌入的强烈不可定义性结果，并表明力迫扩张无法向传递内模型添加新的元素嵌入。

ABSTRACT

Work in $\mathsf{ZF}$ or $\mathsf{ZF}_2$ (second order $\mathsf{ZF}$), as appropriate. Recall that a Reinhardt cardinal is the critical point of a (non-trivial) elementary embedding $j:V ightarrow V$. Beyond these, one has super-Reinhardt, total Reinhardt and Berkeley cardinals. We prove the following results. Let $X$ be a set and $A$ a class. Then (i) if there is a Reinhardt cardinal then $V eq\mathrm{HOD}(X)$, and (ii) if $V$ is total Reinhardt or there is a Berkeley cardinal then $V eq\mathrm{HOD}_A(X)$. Let $\delta$ be a limit ordinal and $j:V_\delta o V_\delta$ be $\Sigma_1$-elementary. Then (i) $j$ is not definable from parameters over $V_\delta$, and (ii) there is $n<\omega$ such that the $n^{\mathrm{th}}$ iterate $j^n=j(j(\ldots (j))):V_\delta o V_\delta$ is fully elementary; in fact, $j^n:(V_\delta,A) o(V_\delta,j^n(A))$ is fully elementary for all $A\subseteq V_\delta$. Let $\delta$ be any ordinal and $j:V_{\delta+1} o V_{\delta+1}$ be fully elementary. Then $j$ is not definable over $V_{\delta+1}$ from parameters in $V_\delta$. Suppose $V=L(V_\delta)$ and $\mathrm{cof}(\delta)>\omega$. Then there is no $\Sigma_1$-elementary $j:V_\delta o V_\delta$. Let $G$ be $(V,\mathbb{P})$-generic for some $\mathbb{P}\in V$. Then (i) if $V[G]$ has a super-Reinhardt cardinal, then $V$ has a super-Reinhardt cardinal; (ii) if $\mathbb{P}\in V_\delta$ and $V[G]\models$``$V_\delta^{V[G]}$ is total Reinhardt'' then $V\models$``$V_\delta$ is total Reinhardt''; and (iii) if $V[G]$ has a set of ordinals which is not in $V$, then $V[G]$ has no elementary $j:V[G] o M\subseteq V$. We also develop the theory of ultrapowers by extenders under $\mathsf{ZF}$, and show that if there is a proper class of Lowenheim-Skolem cardinals, then being the critical point of an elementary $j:V o M$ (with $M$ transitive) is first-order.

研究动机与目标

• 建立存在 Reinhardt 卡尔迪纳尔蕴含 $ V \neq \mathrm{HOD}(X) $ 对任意集合 $ X $ 成立，表明此类卡尔迪纳尔无法被纳入 HOD 框架之中。
• 研究 $ \Sigma_1 $-元素嵌入 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 的可定义性，证明其即使在迭代过程变为完全元素嵌入的情况下，也无法从 $ V_\delta $ 的参数中定义。
• 分析完全元素嵌入 $ j:V_{\delta+1} \to V_{\delta+1} $ 的行为，表明其无法从 $ V_\delta $ 中的参数在 $ V_{\delta+1} $ 上定义。
• 研究力迫下大卡尔迪纳尔性质的保持性，证明超 Reinhardt 卡尔迪纳尔与整体 Reinhardt 性质可从基模型提升至通用扩张。
• 发展 ZF 中通过扩展器构造超幂的理论，并表明在存在一个正规类的 L"owenheim-Skolem 卡尔迪纳尔时，进入传递类的元素嵌入的临界点是一阶可定义的。

提出的方法

• 以 ZF 和 ZF₂（二阶 ZF）作为基础系统，分析 $ j:V \to V $ 的元素嵌入，重点关注临界点及其可定义性。
• 应用可迭代性论证，表明对于 $ \Sigma_1 $-元素嵌入 $ j:V_\delta \to V_\delta $，其某个迭代 $ j^n $ 会变为完全元素嵌入，即使 $ j $ 本身不可定义。
• 使用 $ \mathbb{P} \in V $ 的力迫扩张 $ V[G] $，分析大卡尔迪纳尔性质的传递性，特别是超 Reinhardt 与整体 Reinhardt 卡尔迪纳尔。
• 通过模型论论证建立不可定义性：若 $ j $ 可从 $ V_\delta $ 的参数中定义，则与某些嵌入的不可定义性矛盾。
• 引入并发展 ZF 中通过扩展器构造超幂的理论，表明在存在一个正规类的 L"owenheim-Skolem 卡尔迪纳尔时，进入传递类的元素嵌入的临界点是一阶可定义的。
• 使用假设 $ V = L(V_\delta) $ 与 $ \mathrm{cof}(\delta) > \omega $，通过可定义性与闭包性矛盾论证，排除 $ \Sigma_1 $-元素嵌入 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ V = \mathrm{HOD}(X) $ 对某个集合 $ X $ 成立的模型中，Reinhardt 卡尔迪纳尔能否存在？本文表明这是不可能的。
• RQ2 $ \Sigma_1 $-元素嵌入 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 是否可从 $ V_\delta $ 的参数中定义？本文证明其不可定义。
• RQ3 完全元素嵌入 $ j:V_{\delta+1} \to V_{\delta+1} $ 是否可从 $ V_\delta $ 中的参数在 $ V_{\delta+1} $ 上定义？本文表明其不可定义。
• RQ4 若在通用扩张 $ V[G] $ 中存在超 Reinhardt 卡尔迪纳尔，是否意味着其在基模型 $ V $ 中也存在？本文通过力迫绝对性确认了这一点。
• RQ5 在 ZF 中，一个元素嵌入 $ j:V \to M $（$ M $ 为传递类）的临界点是否为一阶可定义？本文表明在存在一个正规类的 L"owenheim-Skolem 卡尔迪纳尔时，其是可定义的。

主要发现

• 若存在 Reinhardt 卡尔迪纳尔，则对任意集合 $ X $，都有 $ V \neq \mathrm{HOD}(X) $，表明此类卡尔迪纳尔位于 HOD 框架之外。
• 对任意 $ \delta $，若 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 是 $ \Sigma_1 $-元素嵌入，则 $ j $ 无法从 $ V_\delta $ 的参数中定义，即使其某个迭代 $ j^n $ 变为完全元素嵌入。
• 对任意 $ \delta $，若 $ j:V_{\delta+1} \to V_{\delta+1} $ 是完全元素嵌入，则 $ j $ 无法从 $ V_\delta $ 中的参数在 $ V_{\delta+1} $ 上定义。
• 若 $ V = L(V_\delta) $ 且 $ \mathrm{cof}(\delta) > \omega $，则不存在 $ \Sigma_1 $-元素嵌入 $ j:V_\delta \to V_\delta $，这是由于可定义性与闭包性的约束。
• 若 $ V[G] $ 中存在超 Reinhardt 卡尔迪纳尔，则 $ V $ 中也存在超 Reinhardt 卡尔迪纳尔，表明此类卡尔迪纳尔不会被力迫创造。
• 若 $ \mathbb{P} \in V_\delta $ 且 $ V[G] \models \text{``}V_\delta^{V[G]} \text{ 是整体 Reinhardt''} $，则 $ V \models \text{``}V_\delta \text{ 是整体 Reinhardt''} $，表明其在力迫下保持不变。
• 若 $ V[G] $ 中存在不属于 $ V $ 的序数集合，则 $ V[G] $ 中不存在元素嵌入 $ j:V[G] \to M \subseteq V $，表明对新嵌入存在强烈限制。