[论文解读] Relations in the tautological ring of the moduli space of K3 surfaces

Rahul Pandharipande, Qizheng Yin|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 7

一句话总结

该论文利用亏格1的Getzler关系导出的通用K3曲面三重纤维积的对角线的普遍分解，证明了拟极化K3曲面模空间的完整重言关系环由Noether-Lefschetz闭包生成，其构造依赖于Gromov-Witten理论与虚拟类，证明了所有$κ$类的显式边界关系，并证实了Marian-Oprea-Pandharipande猜想。

ABSTRACT

We study the interplay of the moduli of curves and the moduli of K3 surfaces via the virtual class of the moduli spaces of stable maps. Using Getzler's relation in genus 1, we construct a universal decomposition of the diagonal in Chow in the third fiber product of the universal K3 surface. The decomposition has terms supported on Noether-Lefschetz loci which are not visible in the Beauville-Voisin decomposition for a fixed K3 surface. As a result of our universal decomposition, we prove the conjecture of Marian-Oprea-Pandharipande: the full tautological ring of the moduli space of K3 surfaces is generated in Chow by the classes of the Noether-Lefschetz loci. Explicit boundary relations are constructed for all kappa classes. More generally, we propose a connection between relations in the tautological ring of the moduli spaces of curves and relations in the tautological ring of the moduli space of K3 surfaces. The WDVV relation in genus 0 is used in our proof of the MOP conjecture.

研究动机与目标

• 证明Marian-Oprea-Pandharipande猜想：即K3曲面模空间的完整重言关系环由Noether-Lefschetz闭包生成。
• 在重言关系环中构造所有$κ$类的显式边界关系。
• 利用亏格1的Getzler关系，构造通用K3曲面三重纤维积的对角线的普遍分解。
• 展示模空间曲线的重言关系环中的关系与模空间K3曲面的重言关系环中的关系之间的关联。

提出的方法

• 利用亏格1的Getzler关系，构造通用K3曲面三重纤维积的对角线的普遍分解。
• 应用稳定映射模空间的虚拟类，通过从相对稳定映射模空间的上取值映射，定义通用K3曲面上的典范除子类$χ$。
• 通过$χ$与相对切丛$τ_\pi$的第二陈类$c_2(τ_\pi)$的积的上推，定义$κ$类。
• 将亏格0 Gromov-Witten理论中的WDVV关系导出，以推导K3曲面模空间重言关系环中的关系。
• 采用对余维数与$H$-指标的双重归纳法，证明所有$κ$类均属于由Noether-Lefschetz闭包生成的子环。
• 利用完整的Yau-Zaslow公式，确保适定类的约化Gromov-Witten不变量非零，从而实现除子类的典范构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 K3曲面模空间的完整重言关系环是否仅由Noether-Lefschetz闭包生成？
• RQ2 模空间曲线的重言关系环中的关系能否导出至K3曲面模空间的重言关系环？
• RQ3 重言关系环中的所有$κ$类是否可表示为Noether-Lefschetz闭包的组合？
• RQ4 能否利用亏格1关系构造通用K3曲面三重纤维积的对角线的普遍分解？
• RQ5 K3曲面模空间重言关系环中$κ$类的边界关系的精确结构是什么？

主要发现

• 拟极化K3曲面模空间的完整重言关系环由Noether-Lefschetz闭包生成，证实了Marian-Oprea-Pandharipande猜想。
• 为所有$κ$类构造了显式边界关系，表明其属于由Noether-Lefschetz闭包生成的子环。
• 利用Getzler的亏格1关系，构造了通用K3曲面三重纤维积的对角线的普遍分解，其项在Beauville-Voisin分解中不可见的Noether-Lefschetz闭包上支撑。
• 利用亏格0的WDVV关系推导出重言关系环中的关键关系，从而促成主猜想的证明。
• 对余维数与$H$-指标的归纳论证成功证明了所有$κ$类（包括无$H$因子的类）均属于由Noether-Lefschetz闭包生成的子环。
• 通过约化Gromov-Witten不变量构造典范除子类，确保所有$κ$类定义良好且为有理数，且不依赖任意选择。