[论文解读] Relative Defects in Relative Theories: Trapped Higher-Form Symmetries and Irregular Punctures in Class S

Lakshya Bhardwaj, Simone Giacomelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本文引入了6d N = (2,0)理论中的相对缺陷作为形成缺陷群的非局部线缺陷的共存缺陷，其为余维数为二的缺陷。这些缺陷在Class S紧化中表现为不规则 punctures，导致4d N = 2理论中出现‘束缚’的1形式对称性。关键贡献是利用两种几何对偶描述——孤立超曲面奇点与Type IIB紧化中的单值性存在的ALE纤维化——系统计算了共形与非共形不规则 punctures 的缺陷群。

ABSTRACT

A relative theory is a boundary condition of a higher-dimensional topological quantum field theory (TQFT), and carries a non-trivial defect group formed by mutually non-local defects living in the relative theory. Prime examples are 6d N=(2,0) theories that are boundary conditions of 7d TQFTs, with the defect group arising from surface defects. In this paper, we study codimension-two defects in 6d N=(2,0) theories, and find that the line defects living inside these codimension-two defects are mutually non-local and hence also form a defect group. Thus, codimension-two defects in a 6d N=(2,0) theory are relative defects living inside a relative theory. These relative defects provide boundary conditions for topological defects of the 7d bulk TQFT. A codimension-two defect carrying a non-trivial defect group acts as an irregular puncture when used in the construction of 4d N=2 Class S theories. The defect group associated to such an irregular puncture provides extra "trapped" contributions to the 1-form symmetries of the resulting Class S theories. We determine the defect groups associated to large classes of both conformal and non-conformal irregular punctures. Along the way, we discover many new classes of irregular punctures. A key role in the analysis of defect groups is played by two different geometric descriptions of the punctures in Type IIB string theory: one provided by isolated hypersurface singularities in Calabi-Yau threefolds, and the other provided by ALE fibrations with monodromies.

研究动机与目标

• 理解来自不规则 punctures 的4d N = 2 Class S理论中1形式对称性的起源。
• 识别6d N = (2,0)理论中余维数为二的缺陷的缺陷群结构，这些缺陷是相对理论内部的相对缺陷。
• 利用两种对偶几何描述——孤立超曲面奇点（IHS）与Type IIB紧化中具有单值性的ALE纤维化——计算不规则 punctures 的缺陷群。
• 系统分类新的不规则 punctures 类别，包括共形与非共形类型，并确定其关联的束缚1形式对称性。

提出的方法

• 使用相对理论作为7d TQFT的边界条件，以定义具有非平凡缺陷群的6d N = (2,0)理论。
• 将6d N = (2,0)理论中的余维数为二的缺陷识别为承载相互非局域线缺陷的相对缺陷，这些线缺陷构成缺陷群。
• 通过Type IIB紧化中的谱覆盖单值性计算缺陷群，使用Mathematica中的数值方法分析谱曲线的分歧结构。
• 通过权重标记将谱曲线各叶上的单值性作用映射到根上的单值性，从而实现缺陷群的重建。
• 对偶几何描述：在Calabi-Yau三fold中的孤立超曲面奇点（IHS）与具有单值性的ALE纤维化，用于一致地计算缺陷群。
• 应用Smith标准型（SNF）从puncture的同调与上同调数据中提取缺陷群不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 6d N = (2,0)理论中的余维数为二的缺陷如何通过相互非局域的线缺陷产生缺陷群？
• RQ2 Class S理论中不规则 punctures 的缺陷群结构是什么？它们如何贡献于1形式对称性？
• RQ3 两种几何描述——孤立超曲面奇点（IHS）与具有单值性的ALE纤维化——如何通过对偶性计算出相同的缺陷群？
• RQ4 利用这些方法可以系统分类出哪些新的不规则 punctures 类别？
• RQ5 在4d N = 2 Class S理论中，不规则 puncture 的缺陷群如何导致束缚1形式对称性的出现？

主要发现

• 6d N = (2,0)理论中的余维数为二的缺陷是承载由相互非局域线缺陷构成的缺陷群的相对缺陷。
• Class S理论中的不规则 punctures 由于其底层余维数为二缺陷的缺陷群，而携带‘束缚’的1形式对称性。
• 不规则 puncture 的缺陷群通过Type IIB紧化中的谱覆盖单值性分析计算得出，且在Mathematica中实现了显式数值方法。
• 发现了新的不规则 puncture 类别，包括扭曲的Aodd、Aeven、DN+1、Z3扭曲D4以及E6理论，均具有非平凡缺陷群。
• 通过两种对偶几何描述——孤立超曲面奇点（IHS）与具有单值性的ALE纤维化——计算了puncture的缺陷群，结果一致。
• 对于三叶形及特殊SCFT如C(m)和D(m)，缺陷群通过广义 quiver 构造（GQ与GQ′）计算，并通过圆紧化至3d quiver进行验证。