[论文解读] (Relative) dynamical degrees of rational maps over an algebraic closed field

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 23

一句话总结

本文在特征零的代数闭域上，通过利用 Chow 的移动引理和锥的次数公式，基于上同调上拉的次数增长，给出了有理映射动力度数的纯代数定义。证明了诸如对数凹性及相对动力度数的乘积公式等关键性质，将复动力系统中的结果推广至任意特征零的代数几何领域，并在存在奇点解析化时，将结果应用于正特征下的曲面与三倍体。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to define dynamical degrees for rational maps over an algebraic closed field of characteristic zero and prove some basic properties (such as log-concavity) and give some applications. We also define relative dynamical degrees and prove a "product formula" for dynamical degrees of semi-conjugate rational maps in the algebraic setting. The main tools are the Chow's moving lemma and a formula for the degree of the cone over a subvariety of $\mathbb{P}^N$. The proofs of these results are valid as long as resolution of singularities are available (or more generally if appropriate birational models of the maps under consideration are available). This observation is applied for the cases of surfaces and threefolds over a field of positive characteristic.

研究动机与目标

• 通过代数几何工具，为特征零代数闭域上的有理映射定义动力度数。
• 证明对数凹性与动力度数的双有理不变性等基本性质。
• 将理论推广至相对动力度数，并在半共轭映射下建立乘积公式。
• 在奇点解析化成立的前提下，将结果推广至正特征域上的曲面与三倍体。
• 提供一个与复动力系统相对应但适用于任意代数闭域的代数框架，用于动力度数。

提出的方法

• 通过迭代有理映射下子簇的严格变换的次数，代数地定义动力度数。
• 应用 Chow 的移动引理以解决奇点问题，并控制子簇的交集行为。
• 利用射影空间中子簇的锥的次数公式，估计次数的增长。
• 构造双有理模型与线性系，以确保正确交集并控制次数的增长。
• 依赖奇点解析化或适当的双有理模型，将结果推广至特征零之外。
• 通过次数估计与谱半径论证，建立定义动力度数的极限的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在特征零的代数闭域上，完全通过代数方法定义有理映射的动力度数，而无需复分析工具？
• RQ2 在代数设定下，对数凹性与双有理不变性等基本性质是否仍然成立？
• RQ3 在代数几何中，能否建立类似于复分析情形的相对动力度数的乘积公式？
• RQ4 在奇点解析化可用的前提下，这些结果在多大程度上可推广至正特征？
• RQ5 在正特征下，双有理映射在曲面与三倍体上的动力度数如何表现？

主要发现

• 第 $p$ 个动力度数 $\lambda_p(f)$ 定义为极限 $\lim_{n\to\infty} \left( \deg\left( (f^n)^*(H_X^p) \right) \right)^{1/n}$，且对所有 $0 \leq p \leq \dim(X)$ 该极限均存在。
• 动力度数是双有理不变量，即在双有理共轭下保持不变。
• 动力度数满足对数凹性：对所有 $1 \leq p \leq \dim(X)$，有 $\lambda_p(f)^2 \geq \lambda_{p-1}(f)\lambda_{p+1}(f)$。
• 对于实 Néron-Severi 群上的任意范数，有 $\lambda_p(f) = \lim_{n\to\infty} \| (f^n)^*|_{N^p_{\mathbb{R}}(X)} \|^{1/n}$，将次数增长与线性算子范数联系起来。
• 在正特征曲面上，乘积公式简化为 $\lambda_1(f) = \max\{\lambda_1(g), \lambda_1(f|\pi)\}$ 与 $\lambda_2(f) = \lambda_1(g)\lambda_1(f|\pi)$，三倍体情形有类似结果。
• 当奇点解析化存在时，结果可推广至正特征，包括曲面与三倍体，从而在这些域上实现代数动力学的应用。